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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
On voit Γ comme une application (H, J), où
H : [0, 1] × R × S
1
× W −→ R,
J : [0, 1] × R −→ End(T W ),
avec J
λ
s ∈ J pour tous (λ, s) ∈ [0, 1] × R. On peut supposer que H et J sont
de classe C
∞ . Ces données définissent pour chaque λ ∈ [0, 1] une équation
de Floer à paramètre. En utilisant ces équations, nous démontrerons la
proposition 11.2.8 en suivant à peu près le même plan qu’au § 11.1.
11.3.a. Les équations de Floer. Pour Γ λ (s) = (H
λ
s,t , J
λ
s ), avec λ ∈ [0, 1]
fixé, considérons l’équation
∂u
∂s
+ J
λ
s (u)
∂u
∂t
+ grad u H
λ
s,t = 0
et l’espace de solutions correspondant
M
Γ λ =
u : R × S
1
→ W | u est contractile, avec E(u) < +∞
.
Nous savons, grâce au théorème 11.1.1, que
M
Γ λ =
x∈Crit A H a
y∈Crit A H b
M
Γ λ (x, y).
Définissons, pour x ∈ Crit A H a et y ∈ Crit A H b l’espace
M
Γ (x, y) =
(λ, u) | λ ∈ [0, 1], u ∈ M
Γλ (x, y)
.
Remarque 11.3.1. On peut voir M
Γ (x, y) comme un cobordisme entre les
variétés M
Γ0 (x, y) et M
Γ1 (x, y). En effet, si
π : M
Γ (x, y) −→ [0, 1]
désigne la projection (sur l’espace des λ), on a
π
−1 (λ) = M
Γλ (x, y).
Il faudrait aussi montrer que M
Γ (x, y) est une variété. Ce sera fait dès le
paragraphe suivant.
11.3.b. La transversalité. Nous utiliserons l’espace (de perturbations)
C
∞
ε des applications
h : [0, 1] × R × S
1
× W −→ R
à support compact dans ]0, 1[ × R × W telles que h ε < +∞. Notons
h
λ
s,t (z) = h(λ, s, t, z).
Fixons Γ = (H, J). Démontrons le théorème suivant.