11.3. DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION 11.2.8
375
Pour ce faire, nous allons construire une homotopie
S : CF (H
a , J
a ) −→ CF +1 (H
b , J
b )
entre Φ
Γ0 et Φ
Γ1 , autrement dit un S vérifiant la relation
Φ
Γ1
− Φ
Γ0 = S ◦ ∂ (H a ,J a ) + ∂ (H b ,J b ) ◦ S
(qui implique l’égalité désirée).
À cette fin, considérons une « homotopie d’homotopies » Γ = (Γ λ ) λ∈[0,1]
qui joint Γ 0 et Γ 1 , que nous supposons stationnaire près de λ = 0 et de
λ = 1. Elle peut être choisie de façon qu’il existe R > 0 avec la propriété
que, pour tout λ ∈ [0, 1],
Γ λ (s) =
(H
a , J
a ) s ≤ −R
(H
b , J
b ) s ≥ R.
Voir la figure 3. Nous utilisons ici le fait que J est contractile (plus exactement, le fait qu’il est simplement connexe).
(H
a ,J
a )
(H b ,J b )
s
R
−R
1
λ
Γ
Γ 0
Γ 1
Figure 3
375
Pour ce faire, nous allons construire une homotopie
S : CF (H
a , J
a ) −→ CF +1 (H
b , J
b )
entre Φ
Γ0 et Φ
Γ1 , autrement dit un S vérifiant la relation
Φ
Γ1
− Φ
Γ0 = S ◦ ∂ (H a ,J a ) + ∂ (H b ,J b ) ◦ S
(qui implique l’égalité désirée).
À cette fin, considérons une « homotopie d’homotopies » Γ = (Γ λ ) λ∈[0,1]
qui joint Γ 0 et Γ 1 , que nous supposons stationnaire près de λ = 0 et de
λ = 1. Elle peut être choisie de façon qu’il existe R > 0 avec la propriété
que, pour tout λ ∈ [0, 1],
Γ λ (s) =
(H
a , J
a ) s ≤ −R
(H
b , J
b ) s ≥ R.
Voir la figure 3. Nous utilisons ici le fait que J est contractile (plus exactement, le fait qu’il est simplement connexe).
(H
a ,J
a )
(H b ,J b )
s
R
−R
1
λ
Γ
Γ 0
Γ 1
Figure 3