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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Pour tout ε > 0, par ce qui précède, n ∈ I ε pour n assez grand. L’analogue
du lemme 9.6.18 (qui se démontre lui aussi de façon identique) montre qu’il
existe ε 2 > 0 tel que
I ε2 ⊂ ψ([ρ 0 , +∞[).
Et ceci achève la démonstration du théorème 11.1.16.
Par conséquent, le théorème 11.1.15 est lui aussi complètement démontré. Avec cette démonstration, nous avons achevé la première partie du plan
établi au début de ce chapitre, à savoir la définition du morphisme de complexes
Φ
Γ : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
b , J
b ).
La deuxième et dernière étape de ce plan a pour but de démontrer que ce
morphisme induit un isomorphisme en homologie. Elle se décompose à son
tour en deux étapes correspondant aux deux énoncés suivants.
Proposition 11.2.8. Le morphisme Φ
Γ induit au niveau de l’homologie un
morphisme qui est indépendant du choix de l’homotopie régulière Γ entre
(H
a , J
a ) et (H
b , J
b ).
Proposition 11.2.9. Soient (H
a , J
a ), (H
b , J
b ) et (H
c , J
c ) ∈ (H × J) reg et
soient Γ
, Γ
deux homotopies régulières joignant (H
a , J
a ) à (H
b , J
b ), respectivement (H
b , J
b ) à (H
c , J
c ). Il existe alors une homotopie régulière Γ
joignant (H
a , J
a ) à (H
c , J
c ) telle que
Φ
Γ
◦ Φ
Γ
et Φ
Γ : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
c , J
c )
induisent le même homomorphisme en homologie.
Ces deux propositions impliquent la relation
Φ
Γ
◦ Φ
Γ
= Φ
Γ en homologie
quelles que soient les homotopies régulières Γ
, Γ
et Γ comme ci-dessus.
Ceci est l’énoncé de l’étape 2 du plan de ce chapitre, tel qu’énoncé en son
début. On en déduit que Φ
Γ
est un isomorphisme en homologie en prenant
(H
a , J
a ) = (H
c , J
c ), Γ = Id, et en utilisant le fait que Φ
Id = Id.
Les deux sections qui viennent contiennent les démonstrations des deux
propositions.
11.3. Invariance de Φ
Γ : démonstration de la proposition 11.2.8
Considérons deux homotopies régulières Γ 0 et Γ 1 joignant (H
a , J
a ) à
(H
b , J
b ). Nous voulons démontrer que Φ
Γ0 = Φ
Γ1 au niveau de l’homologie.