11.2. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.1.16
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de sorte que, cette fois encore, la relation voulue est conséquence de 9.6.11.
La proposition 11.2.3 est ainsi démontrée.
Démonstration de la proposition 11.2.4. Elle se fait de façon analogue à
celle de la proposition 9.6.4 au § 9.6.c, en utilisant les lemmes 9.6.13, 9.6.14
et 13.7.1. Ces trois lemmes restent en effet valables dans le contexte présent :
– pour 9.6.13, la démonstration est identique, fondée sur le fait que n ,
solution d’une équation de Floer, satisfait une propriété de décroissance
exponentielle,
– la démonstration de 9.6.14 est simplifiée par le fait qu’ici W ρ est de
dimension 1,
– enfin l’analogue de 13.7.1 se démontre de façon identique puisque les
opérateurs de Floer F
Γ
ρ et F ρ jouissent des mêmes propriétés.
Fin de la démonstration de la propriété d’unicité. Ici encore, elle est complètement analogue à la démonstration de la propriété correspondante 9.6.5,
cette fois au § 9.6.d. En appliquant les lemmes 9.6.16 et 9.6.17 à l’opérateur
F
Γ
ρ n
: W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ),
nous obtenons l’existence d’un ε 1 > 0, indépendant de n et d’une application
continue
γ n : Ker(L
Γ
ρ n
) ∩ B(0, ε 1 ) −→ W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
tels que pour tout h, F
Γ
ρ n (γ n (h)) = 0 et que γ n (h) soit l’unique élément
de h + W
⊥
u ∩ B(0, ε 1 ) possédant cette propriété. En utilisant les propositions 11.2.3 et 11.2.4, nous obtenons, pour n assez grand, l’existence de
h n ∈ B(0, ε 1 ) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
telle que
n (s + ρ n ) = exp wρ n (s) (i ρn (γ n (h n (s))))
(c’est-à-dire que n (s + ρ n ) est une solution obtenue par la méthode de
Newton-Picard). D’autre part, la formule
h −→
exp wρ n
i ρn (γ n (h n ))
(s − ρ n , t)
définit une application continue de B(0, ε 1 ) ∩ Ker(L
Γ
ρn ) dans l’espace de
solutions M
Γ (x, z) qui est de dimension 1.
Soit ρ 0 un réel plus grand que le ρ 0 donné par la première partie du
théorème 11.1.16. Pour ε ∈ [0, ε 1 ], appelons I ε l’intervalle contenu dans
M
Γ (x, z) et défini par
I ε = ψ([ρ 0 , +∞[) ∪
ρn>ρ 0
exp ρn (i ρn (γ n (h))) | |h ≤ ε
.
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de sorte que, cette fois encore, la relation voulue est conséquence de 9.6.11.
La proposition 11.2.3 est ainsi démontrée.
Démonstration de la proposition 11.2.4. Elle se fait de façon analogue à
celle de la proposition 9.6.4 au § 9.6.c, en utilisant les lemmes 9.6.13, 9.6.14
et 13.7.1. Ces trois lemmes restent en effet valables dans le contexte présent :
– pour 9.6.13, la démonstration est identique, fondée sur le fait que n ,
solution d’une équation de Floer, satisfait une propriété de décroissance
exponentielle,
– la démonstration de 9.6.14 est simplifiée par le fait qu’ici W ρ est de
dimension 1,
– enfin l’analogue de 13.7.1 se démontre de façon identique puisque les
opérateurs de Floer F
Γ
ρ et F ρ jouissent des mêmes propriétés.
Fin de la démonstration de la propriété d’unicité. Ici encore, elle est complètement analogue à la démonstration de la propriété correspondante 9.6.5,
cette fois au § 9.6.d. En appliquant les lemmes 9.6.16 et 9.6.17 à l’opérateur
F
Γ
ρ n
: W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n ),
nous obtenons l’existence d’un ε 1 > 0, indépendant de n et d’une application
continue
γ n : Ker(L
Γ
ρ n
) ∩ B(0, ε 1 ) −→ W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
tels que pour tout h, F
Γ
ρ n (γ n (h)) = 0 et que γ n (h) soit l’unique élément
de h + W
⊥
u ∩ B(0, ε 1 ) possédant cette propriété. En utilisant les propositions 11.2.3 et 11.2.4, nous obtenons, pour n assez grand, l’existence de
h n ∈ B(0, ε 1 ) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
telle que
n (s + ρ n ) = exp wρ n (s) (i ρn (γ n (h n (s))))
(c’est-à-dire que n (s + ρ n ) est une solution obtenue par la méthode de
Newton-Picard). D’autre part, la formule
h −→
exp wρ n
i ρn (γ n (h n ))
(s − ρ n , t)
définit une application continue de B(0, ε 1 ) ∩ Ker(L
Γ
ρn ) dans l’espace de
solutions M
Γ (x, z) qui est de dimension 1.
Soit ρ 0 un réel plus grand que le ρ 0 donné par la première partie du
théorème 11.1.16. Pour ε ∈ [0, ε 1 ], appelons I ε l’intervalle contenu dans
M
Γ (x, z) et défini par
I ε = ψ([ρ 0 , +∞[) ∪
ρn>ρ 0
exp ρn (i ρn (γ n (h))) | |h ≤ ε
.