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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
(1) Sur ] − ∞, A − ρ n ]. Comme s + ρ n < A,
w ρn (s) = u(s + ρ n ) ∈ B(x, δ),
et, comme s + ρ n < A < σ
n ,
n (s + ρ n ) ∈ B(x, δ).
Dans ce cas, la relation suit de 9.6.11.
(2) Sur [A − ρ n , B − ρ n ]. Cette fois, s + ρ n ∈ [A, B], nous avons w ρn (s) =
u(s + ρ n ). Puis, n (s) tend vers u(s) uniformément sur [A, B], donc, pour n
assez grand et s ∈ [A, B],
n (s) = exp u(s) Y (s), avec Y ∞ < ε.
Posons donc X(s) = Y (s + ρ n ), de sorte qu’évidemment, X ∞ < ε et que
n (s + ρ n ) = exp u(s+ρn) Y (s + ρ n ) = exp wρ n (s) X(s).
(3) Sur [B − ρ n , A + ρ n ]. Ici
s + ρ n ∈ [B, A + 2ρ n ] = [B, A + τ n − τ
] et s − ρ n ∈ [B − 2ρ n , A],
ce qui implique que
u(s + ρ n ) ∈ B(y, δ) et v(s − ρ n ) ∈ B(y, δ).
Et, comme B > σ n et A + τ n − τ
< τ n ,
n (s + ρ n ) ∈ B(y, δ).
La relation désirée découle alors de 9.6.11.
(4) Sur [A + ρ n , B + ρ n ]. Cette fois,
s + ρ n ∈ [A + 2ρ n , B + 2ρ n ] = [A + τ n − τ
, B + τ n − τ
], s− ρ n ∈ [A, B]
et w ρn (s) = v(s − ρ n ). Sur le compact [A − τ
, B − τ
], la suite n (s + τ n )
converge uniformément vers v(s + τ
) en vertu du lemme 11.2.7. En particulier, si n est assez grand et si s ∈ [A − τ
, B − τ
],
n (s + τ n ) = exp v(s+τ ) Y (s), avec Y ∞ < ε.
Remplaçons s par s − τ
− ρ n dans cette égalité pour obtenir, pour s ∈
[A + ρ n , B + ρ n ],
n (s + τ n − τ
− ρ n ) = exp v(s−ρn) Y (s − τ
− ρ n ),
ce qui s’écrit encore n (s + ρ n ) = exp wρ n (s) X(s) pour s dans l’intervalle
voulu, avec X(s) = Y (s−τ
−ρ n ) satisfaisant à X ∞ < ε sur cet intervalle.
(5) Sur [B + ρ n , +∞[. Ici
s + 2ρ n ∈ [B + 2ρ n , +∞[ = [B + τ n − τ
, +∞[ s − ρ n ∈ [B, +∞[,
et w ρn (s) = v(s − ρ n ). Ainsi, comme B + τ n − τ
> τ
n ,
w ρn (s) ∈ B(z, δ) et n (s + ρ n ) ∈ B(z, δ),