11.2. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.1.16
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et la restriction de n à l’intervalle [τ n , τ
n ] est solution de l’équation de
Floer associée à (H
b , J
b ). Les mêmes arguments que dans la démonstration
du lemme 9.6.12 montrent alors que (τ n − τ
n ) est bornée.
Montrons enfin la dernière assertion. C’est toujours 11.1.12 qui assure
que
lim
n→+∞
n (s + τ n ) = w
∈ M (H b ,J b ) ,
avec, comme ci-dessus, w
∈ M (H b ,J b ) (y, y
) pour un y
= y (en utilisant le fait que (τ n − s n ) tend vers +∞, fait qui, lui aussi, se démontre
comme ci-dessus). L’hypothèse faite sur n entraîne par ailleurs l’existence
d’une suite (ρ n ) tendant vers +∞ et telle que lim n→+∞ n (s + ρ n ) = v. Le
lemme 11.2.5 implique alors que la suite (τ n −ρ n ) est bornée, donc (à extraction près d’une sous-suite) convergente, vers une limite que nous notons τ
.
Mais alors
lim
n→+∞
n (s + τ n ) = v(s + τ
)
et le lemme est démontré.
Achevons maintenant de démontrer la proposition 11.2.3. Posons
ρ n =
τ n − τ
2
(τ
est celui dont nous venons de démontrer l’existence) et montrons que
(ρ n ) satisfait bien aux propriétés annoncées. Considérons donc le pré-recollement w ρn défini, rappelons-le, par
w ρn (s) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u(s + ρ n )
s i s ≤ −1
exp y
β
− (s) exp
−1
y (u(s + ρ n ))
+ β
+ (s) exp
−1
y (v(s − ρ n ))
si s ∈ [−1, 1]
v(s − ρ n )
s i s ≥ 1.
Montrons que
n (s + ρ n ) = exp wρ n (s) X(s), avec X ∞ < ε.
Choisissons A et B ∈ R tels que
– A − τ
< 0, B − τ
> τ
n − τ n et [σ n , σ
n ] ⊂ [A, B],
– pour s ≤ A, u(s) ∈ B(x, δ) et v(s) ∈ B(y, δ),
– pour s ≥ B, u(s) ∈ B(y, δ) et v(s) ∈ B(z, δ).
Nous allons démontrer la relation voulue pour tout s ∈ R en découpant R
en plusieurs intervalles (de façon similaire à ce que nous avons fait pour
démontrer la proposition 9.6.3) :
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et la restriction de n à l’intervalle [τ n , τ
n ] est solution de l’équation de
Floer associée à (H
b , J
b ). Les mêmes arguments que dans la démonstration
du lemme 9.6.12 montrent alors que (τ n − τ
n ) est bornée.
Montrons enfin la dernière assertion. C’est toujours 11.1.12 qui assure
que
lim
n→+∞
n (s + τ n ) = w
∈ M (H b ,J b ) ,
avec, comme ci-dessus, w
∈ M (H b ,J b ) (y, y
) pour un y
= y (en utilisant le fait que (τ n − s n ) tend vers +∞, fait qui, lui aussi, se démontre
comme ci-dessus). L’hypothèse faite sur n entraîne par ailleurs l’existence
d’une suite (ρ n ) tendant vers +∞ et telle que lim n→+∞ n (s + ρ n ) = v. Le
lemme 11.2.5 implique alors que la suite (τ n −ρ n ) est bornée, donc (à extraction près d’une sous-suite) convergente, vers une limite que nous notons τ
.
Mais alors
lim
n→+∞
n (s + τ n ) = v(s + τ
)
et le lemme est démontré.
Achevons maintenant de démontrer la proposition 11.2.3. Posons
ρ n =
τ n − τ
2
(τ
est celui dont nous venons de démontrer l’existence) et montrons que
(ρ n ) satisfait bien aux propriétés annoncées. Considérons donc le pré-recollement w ρn défini, rappelons-le, par
w ρn (s) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u(s + ρ n )
s i s ≤ −1
exp y
β
− (s) exp
−1
y (u(s + ρ n ))
+ β
+ (s) exp
−1
y (v(s − ρ n ))
si s ∈ [−1, 1]
v(s − ρ n )
s i s ≥ 1.
Montrons que
n (s + ρ n ) = exp wρ n (s) X(s), avec X ∞ < ε.
Choisissons A et B ∈ R tels que
– A − τ
< 0, B − τ
> τ
n − τ n et [σ n , σ
n ] ⊂ [A, B],
– pour s ≤ A, u(s) ∈ B(x, δ) et v(s) ∈ B(y, δ),
– pour s ≥ B, u(s) ∈ B(y, δ) et v(s) ∈ B(z, δ).
Nous allons démontrer la relation voulue pour tout s ∈ R en découpant R
en plusieurs intervalles (de façon similaire à ce que nous avons fait pour
démontrer la proposition 9.6.3) :