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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Montrons que ceci est absurde. On sait que, pour s < −R, n et u sont solutions de l’équation de Floer associée à (H
a , J
a ). En particulier, les fonctions
s −→ A H a ( n (s)) et s −→ A H a (u(s))
sont strictement décroissantes pour s < −R. Il en est de même de la fonction
s → A H a (w(s)). Choisissons donc s 1 et s 2 < −R tels que A H a (u(s 1 )) >
A H a (w(s 2 )), ce qui revient à
lim
n→+∞
A H a ( n (s 1 )) > lim
n→+∞
A H a ( n (s 2 + σ
n )).
Pour n assez grand, l’hypothèse faite sur σ
n impose que s 2 + σ
n < s 1 < −R
et donc que
A H a ( n (s 1 )) < A H a ( n (s 2 + σ
n )),
ce qui est la contradiction recherchée. Donc (σ
n ) est bornée.
Passons maintenant à (σ n ) et montrons que cette suite est, elle aussi,
bornée. Supposons donc qu’elle ne l’est pas et donc (toujours à extraction
d’une sous-suite près) qu’elle tend vers +∞. Nous obtenons de même que
lim
n→+∞
n (s + σ n ) = w
∈ M (H b ,J b )
avec
w
(0) = lim
n→+∞
n (σ n ) ∈ ∂B(y, δ).
En particulier, la suite (s n −σ n ) tend vers +∞, puisque, si nous la supposions
bornée, de lim n→+∞ n (s + s n ) = y, nous déduirions que
lim
n→+∞
n (s + σ n ) = y
et donc que w
= y, ce qui est absurde. Donc tout s > 0 est tel que s + σ n ∈
]σ n , s n ] pour n assez grand et donc n (s + σ n ) ∈ B(y, δ). Ainsi
w
(s) = lim
n→+∞
n (s + σ n ) ∈ B(y, δ),
en particulier w
∈ M (H b ,J b ) (y
, y) pour un certain point critique y
= y de
A H b . Une contradiction sera mise en évidence comme ci-dessus en prenant
s 1 et s 2 > R tels que
A H b (u(s 1 )) < A H b (w
(s 2 )).
Venons-en maintenant à la suite (τ
n −τ n ). Pour n assez grand, nous avons
s n > R (par le lemme 11.2.6), donc τ
n ≥ τ n ≥ s n > R. En particulier
A H b ( n (s n )) > A H b ( n (τ n )) > A H b ( n (τ
n )) > A H b (z).
Le lemme 11.2.6 donne le fait que A H b ( n (s n )) = A H b (y), donc
A H b ( n (τ n )) et A H b ( n (τ
n )) ∈ ]A H b (z), A H b (y)[