11.2. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.1.16
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Reprenons les notations de la proposition 9.6.3. Fixons ε > 0 et choisissons un δ > 0 qui satisfait au lemme 9.6.11. Considérons les boules ouvertes
(pour la distance C
0 ) B(x, δ), B(y, δ) et B(z, δ) dans l’espace LW des lacets.
Quitte à prendre δ plus petit, nous supposons qu’elles sont mutuellement
disjointes et que u(0) ∈ B(x, δ) ∪ B(y, δ). Grâce au lemme précédent, nous
savons que n (s+s n ) tend vers y donc, pour n assez grand, n (s n ) ∈ B(y, δ).
Définissons les nombres
σ
n = sup {s | n (] − ∞, s]) ⊂ B(x, δ)}
σ n = inf {s < s n | n ([s, s n ]) ⊂ B(y, δ)}
τ n = sup {s > s n | n ([s n , s]) ⊂ B(y, δ)}
τ
n = inf {s | n ([s, +∞[) ⊂ B(z, δ)} .
Remarquons que
n (σ
n ) ∈ ∂B(x, δ), , n (σ n ) et n (τ n ) ∈ ∂B(y, δ) et n (τ
n ) ∈ ∂B(z, δ).
Comme ces trois boules sont disjointes, nous avons
σ
n ≤ σ n ≤ τ n ≤ τ
n .
De plus, comme lim n→+∞ n (s) = u(s), pour n assez grand,
n (0) ∈ B(x, δ) ∪ B(y, δ),
donc
σ
n ≤ 0 ≤ σ n .
Démontrons maintenant :
Lemme 11.2.7. Les suites (σ
n ), (σ n ) et (τ
n − τ n ) sont bornées. De plus, il
existe un τ
∈ R tel que
lim
n→+∞
n (s + τ n ) = v(s + τ
).
Démonstration. Supposons que (σ
n ) ne soit pas bornée donc, à extraction
près d’une sous-suite, que lim n→+∞ σ
n = −∞. Posons
λ n (s) = n (s + σ
n ).
Le lemme 11.1.12 assure l’existence de w ∈ M (H a ,J a ) tel que
lim
n→+∞
λ n (s) = w(s).
Comme λ n (s) ∈ B(x, δ) pour tout s < 0, w ∈ M (H a ,J a ) (x, x
) pour un
certain x
, et x = x
puisque
w(0) = lim
n→+∞
λ n (0) = lim
n→+∞
n (σ
n ) ∈ ∂B(x, δ).