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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Nous avons fixé un relèvement v ∈ M (H b ,J b ) (y, z) de
v. La convergence
de ( n ) implique l’existence d’une suite (σ n ) qui tend vers +∞ et vérifie
lim
n→+∞
n (s + σ n ) = v(s).
En particulier, pour le s fixé ci-dessus, nous avons
lim
n→+∞
A H b ( n (s + σ n )) = A H b (v(s)) < A H b (y),
ce qui implique que
A H b ( n (s + σ n )) < A H b (y)
pour n assez grand. D’où l’existence pour n assez grand de s n ∈ ]s, s + σ n [
tel que A H b ( n (s n )) = A H b (y).
Supposons que la suite (s n ) soit bornée. Quitte à en extraire une soussuite, supposons qu’elle tend vers une limite s
≥ R. Alors,
lim
n→+∞
n (s + s n ) = u(s + s
) dans C
∞
loc .
En particulier, lim n (s n ) = u(s
), donc
lim
n→+∞
A H b ( n (s n )) = A H b (u(s
)) > A H b (y),
ce qui est une contradiction puisque la suite du membre de gauche est
constante égale à A H b (y). Par suite (toujours à extraction d’une sous-suite
près), lim s n = +∞.
Nous avons ainsi montré la première assertion du lemme. La deuxième
en est une conséquence. Utilisons le lemme 11.1.12, pour obtenir que
lim
n→+∞
n (s + s n ) = a ∈ M (H b ,J b ) (α, β) pour α, β ∈ Crit(A H b ).
Remarquons que
A H b (a(0)) = lim
n→+∞
A H b ( n (s n )) = A H b (y)
(et rappelons que lim n (s + σ n ) = v). Supposons que σ n − s n soit bornée,
donc (modulo extraction de sous-suite) convergente vers s
• . Alors v(s) =
a(s + s
• ), en particulier,
A H b (v(−s
• )) = A H b (a(0)) = A H b (y),
ce qui n’est pas possible puisque v ∈ M (H b ,J b ) (y, z). C’est donc que σ n − s n
n’est pas bornée. Le lemme précédent implique alors que
A H b (a(s)) = A H b (y) pour tout s.
Donc a ne dépend pas de s, donc c’est un point critique de A H b . Comme
les valeurs critiques de A H b sont distinctes (voir au besoin le lemme 6.3.6),
on a donc a = y, ce qui termine la démonstration du lemme.