11.2. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.1.16
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Lemme 11.2.5. Soient (λ n ) une suite dans M
Γ (x, z) et (s n ), (σ n ) deux suites
réelles tendant vers +∞. Supposons que
lim
n→+∞
λ n (s + s n ) = a(s) et
lim
n→+∞
λ n (s + σ n ) = b(s)
pour
a ∈ M (H b ,J b ) (α, β), b ∈ M (H b ,J b ) (γ, δ)
(α, β, γ et δ étant des points critiques de A H b ). Alors
– si lim n→+∞ (s n − σ n ) = −∞,
A H b (α) ≥ A H b (β) ≥ A H b (γ) ≥ A H b (δ),
– si lim n→+∞ (s n − σ n ) = +∞,
A H b (γ) ≥ A H b (δ) ≥ A H b (α) ≥ A H b (β).
Démonstration. Les deux assertions se montrent de manière complètement
analogue. Montrons donc la deuxième. Supposons donc que lim(s n − σ n ) =
+∞. Pour s ≥ R, λ n (s) est solution de l’équation de Floer pour (H
b , J
b ),
de sorte en particulier que s → A H b ( n (s)) est une fonction strictement
décroissante sur [R, +∞[. Fixons σ et τ ∈ R et choisissons n assez grand
pour que
s n + τ > σ n + σ ≥ R.
Nous avons
A H b (λ n (s n + τ )) < A H b (λ n (σ n + τ )).
Faisons tendre n vers l’infini, obtenant
A H b (a(τ )) ≤ A H b (b(σ)),
une inégalité valable pour tous τ et σ. Il suffit de faire tendre σ vers +∞
et τ vers −∞ pour finir la démonstration du lemme.
Lemme que nous utilisons pour démontrer :
Lemme 11.2.6. Soit ( n ) une suite dans M
Γ (x, z), tendant vers (u,
v) ∈
M
Γ (x, y) × L (H b ,J b ) (y, z). Alors
(1) Il existe une suite réelle (s n ) avec s n ≥ R et tendant vers +∞ telle
que A H b ( n (s n )) = A H b (y),
(2) de plus, lim n→+∞ n (s + s n ) = y.
Démonstration. Comme dans la démonstration du lemme précédent, la fonction s → A H b ( n (s)) est strictement décroissante pour s ≥ R. Puisque
u ∈ M
Γ (x, y), la même conclusion vaut pour s → A H b (u(s)). Fixons un
s ≥ R. Puisque lim n (s) = u(s), nous avons
lim
n→+∞
A H b ( n (s)) = A H b (u(s)) > A H b (y).
En particulier A H b ( n (s)) > A H b (y) pour n assez grand.
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Lemme 11.2.5. Soient (λ n ) une suite dans M
Γ (x, z) et (s n ), (σ n ) deux suites
réelles tendant vers +∞. Supposons que
lim
n→+∞
λ n (s + s n ) = a(s) et
lim
n→+∞
λ n (s + σ n ) = b(s)
pour
a ∈ M (H b ,J b ) (α, β), b ∈ M (H b ,J b ) (γ, δ)
(α, β, γ et δ étant des points critiques de A H b ). Alors
– si lim n→+∞ (s n − σ n ) = −∞,
A H b (α) ≥ A H b (β) ≥ A H b (γ) ≥ A H b (δ),
– si lim n→+∞ (s n − σ n ) = +∞,
A H b (γ) ≥ A H b (δ) ≥ A H b (α) ≥ A H b (β).
Démonstration. Les deux assertions se montrent de manière complètement
analogue. Montrons donc la deuxième. Supposons donc que lim(s n − σ n ) =
+∞. Pour s ≥ R, λ n (s) est solution de l’équation de Floer pour (H
b , J
b ),
de sorte en particulier que s → A H b ( n (s)) est une fonction strictement
décroissante sur [R, +∞[. Fixons σ et τ ∈ R et choisissons n assez grand
pour que
s n + τ > σ n + σ ≥ R.
Nous avons
A H b (λ n (s n + τ )) < A H b (λ n (σ n + τ )).
Faisons tendre n vers l’infini, obtenant
A H b (a(τ )) ≤ A H b (b(σ)),
une inégalité valable pour tous τ et σ. Il suffit de faire tendre σ vers +∞
et τ vers −∞ pour finir la démonstration du lemme.
Lemme que nous utilisons pour démontrer :
Lemme 11.2.6. Soit ( n ) une suite dans M
Γ (x, z), tendant vers (u,
v) ∈
M
Γ (x, y) × L (H b ,J b ) (y, z). Alors
(1) Il existe une suite réelle (s n ) avec s n ≥ R et tendant vers +∞ telle
que A H b ( n (s n )) = A H b (y),
(2) de plus, lim n→+∞ n (s + s n ) = y.
Démonstration. Comme dans la démonstration du lemme précédent, la fonction s → A H b ( n (s)) est strictement décroissante pour s ≥ R. Puisque
u ∈ M
Γ (x, y), la même conclusion vaut pour s → A H b (u(s)). Fixons un
s ≥ R. Puisque lim n (s) = u(s), nous avons
lim
n→+∞
A H b ( n (s)) = A H b (u(s)) > A H b (y).
En particulier A H b ( n (s)) > A H b (y) pour n assez grand.