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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
(2) C’est une immersion. Montrons que ψ
(ρ) = 0. Sinon,
∂ϕ
∂ρ
(ρ, s − ρ, t) −
∂ϕ
∂s
(ρ, s − ρ, t) = 0,
donc ∂ϕ/∂ρ = ∂ϕ/∂s. La même démonstration qu’au § 9.5 (dans laquelle
α n est remplacé par 1) mène à une contradiction.
(3) Elle est injective. En effet, son image est contenue dans une composante de la variété M
Γ (x, z) dont la dimension est 1. Cette composante n’est
pas compacte, puisque
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) ∈ M
Γ (x, z).
C’est donc un intervalle de R et l’injectivité de ψ est conséquence du fait
qu’elle est immersive (et du théorème de Rolle...).
Il reste à démontrer la propriété d’unicité de la manière de tendre vers la
limite, c’est-à-dire la dernière assertion du théorème 11.1.16. Comme dans
cet énoncé, considérons donc une suite ( n ) n tendant vers (u,
v) et montrons
que, pour n assez grand, n ∈ Im ψ. Comme dans la remarque 9.6.2, il suffit
de le démontrer pour une sous-suite de ( n ) (et les énoncés qui suivent sont
à comprendre « à extraction d’une sous-suite près »). Comme dans le § 9.6
(et comme d’habitude), nous allons procéder en plusieurs étapes (mais nous
n’aurons pas besoin de la première étape de 9.6) :
(1) Nous démontrons une proposition, analogue simplifié de 9.6.3 :
Proposition 11.2.3. Il existe une suite réelle (ρ n ) tendant vers +∞ et, pour
tout n, un vecteur Y n ∈ w
ρ n
T W , tels que, pour tout (s, t) ∈ R × S
1 ,
n (s + ρ n , t) = exp wρ n (s,t) Y n (s, t).
De plus, lim n→+∞ Y n ∞ = 0.
(2) Nous faisons de même avec un analogue de 9.6.4 :
Proposition 11.2.4. Le champ Y n est dans W
1,p (w
ρn T W ). De plus,
lim n→+∞ Y n W 1,p = 0.
(3) Enfin, nous achevons la démonstration.
Démonstration de la proposition 11.2.3. Rappelons que R désigne un nombre réel positif tel que pour s ≥ R l’homotopie Γ(s) est stationnaire, égale
à (H
b , J
b ). Pour simplifier l’écriture, nous supprimons dans cette démonstration la mention de la variable t ∈ S
1 dans l’expression des applications
définies sur R × S
1 .
Et nous commençons la démonstration par un analogue du lemme 9.6.9 :
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
(2) C’est une immersion. Montrons que ψ
(ρ) = 0. Sinon,
∂ϕ
∂ρ
(ρ, s − ρ, t) −
∂ϕ
∂s
(ρ, s − ρ, t) = 0,
donc ∂ϕ/∂ρ = ∂ϕ/∂s. La même démonstration qu’au § 9.5 (dans laquelle
α n est remplacé par 1) mène à une contradiction.
(3) Elle est injective. En effet, son image est contenue dans une composante de la variété M
Γ (x, z) dont la dimension est 1. Cette composante n’est
pas compacte, puisque
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) ∈ M
Γ (x, z).
C’est donc un intervalle de R et l’injectivité de ψ est conséquence du fait
qu’elle est immersive (et du théorème de Rolle...).
Il reste à démontrer la propriété d’unicité de la manière de tendre vers la
limite, c’est-à-dire la dernière assertion du théorème 11.1.16. Comme dans
cet énoncé, considérons donc une suite ( n ) n tendant vers (u,
v) et montrons
que, pour n assez grand, n ∈ Im ψ. Comme dans la remarque 9.6.2, il suffit
de le démontrer pour une sous-suite de ( n ) (et les énoncés qui suivent sont
à comprendre « à extraction d’une sous-suite près »). Comme dans le § 9.6
(et comme d’habitude), nous allons procéder en plusieurs étapes (mais nous
n’aurons pas besoin de la première étape de 9.6) :
(1) Nous démontrons une proposition, analogue simplifié de 9.6.3 :
Proposition 11.2.3. Il existe une suite réelle (ρ n ) tendant vers +∞ et, pour
tout n, un vecteur Y n ∈ w
ρ n
T W , tels que, pour tout (s, t) ∈ R × S
1 ,
n (s + ρ n , t) = exp wρ n (s,t) Y n (s, t).
De plus, lim n→+∞ Y n ∞ = 0.
(2) Nous faisons de même avec un analogue de 9.6.4 :
Proposition 11.2.4. Le champ Y n est dans W
1,p (w
ρn T W ). De plus,
lim n→+∞ Y n W 1,p = 0.
(3) Enfin, nous achevons la démonstration.
Démonstration de la proposition 11.2.3. Rappelons que R désigne un nombre réel positif tel que pour s ≥ R l’homotopie Γ(s) est stationnaire, égale
à (H
b , J
b ). Pour simplifier l’écriture, nous supprimons dans cette démonstration la mention de la variable t ∈ S
1 dans l’expression des applications
définies sur R × S
1 .
Et nous commençons la démonstration par un analogue du lemme 9.6.9 :