11.2. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.1.16
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Démonstration. Pour démontrer le théorème, il faut vérifier que F ρ = F
Γ
ρ satisfait aux propriétés que nous rassemblons dans le chapitre 13. La différence
entre les situations étudiées ici et dans ce § vient du fait que l’opérateur de
Floer est maintenant F
Γ
ρ .
Comme Γ est stationnaire pour |s| ≥ R, on obtient les mêmes estimations de façon semblable (et sans beaucoup de mal) : il suffit de réécrire le
lemme 13.2.3 pour des applications
A : R × W × R
m
× R
m
−→ R
m et B : R × W × R
m
× R
m
× R
m
−→ R
m
qui sont constantes (par rapport à la première variable s ∈ R) lorsque
|s| ≥ R (avec une preuve complètement analogue).
Quant à l’énoncé analogue à celui du lemme 9.4.16, sa démonstration
demande une modification plus sérieuse : il faut ici tenir compte de la dépendance en le paramètre ρ de H et de J. Voir la démonstration de cette
variante au § 13.8.
Nous pouvons maintenant définir les applications ϕ ρ et ψ ρ désirées :
posons
ϕ ρ = exp wρ γ(ρ) et ψ ρ (s, t) = ϕ ρ (s − ρ, t).
Par définition, ϕ ρ est solution de
∂ϕ ρ
∂s
+ J s+ρ
∂ϕ ρ
∂t
+ grad H s+ρ,t (ϕ ρ ) = 0
et satisfait à
lim
s→−∞
ϕ ρ (s, t) = x(t) et
lim
s→+∞
ϕ ρ (s, t) = z(t),
de sorte que ψ ρ ∈ M
Γ (x, z) pour tout ρ ≥ ρ 0 .
11.2.c. Les propriétés de ψ ρ . Nous vérifions maintenant que ψ ρ a bien
les propriétés attendues.
(1) Elle tend bien vers (u,
v). On utilise les propriétés du prérecollement w ρ et celles de γ(ρ) (énoncées dans le théorème 11.2.2)
pour obtenir, comme au § 9.4, que
lim
ρ→+∞
ϕ ρ (s − ρ, t) = u(s, t) et
lim
ρ→+∞
ϕ ρ (s + ρ, t) = v(s, t),
autrement dit,
lim
ρ→+∞
ϕ ρ (s, t) = u(s, t) et
lim
ρ→+∞
ϕ ρ (s + 2ρ, t) = v(s, t),
de sorte qu’en effet
lim
ρ→+∞
ψ ρ = (u,
v) ∈ M
Γ (x, y) × L (H b ,J b ) (y, z).