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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Comme lim ρ→+∞ w ρ = y dans C
∞
loc , la partie d’ordre 0 de L ρ = (dF ρ ) 0
(restreinte à W
1,p (K; R
2n )) tend vers la partie d’ordre 0 de (dF
b ) y écrite
dans la base Z
y
i , c’est-à-dire vers S
y .
(3) Nous savons, grâce au théorème 8.1.5, que L
u , L
v et L
Γ
ρ sont des
opérateurs de Fredholm d’indices respectifs
Ind(L
u ) = μ(x) − μ(y) = 0
Ind(L
v ) = μ(y) − μ(z) = 1
Ind(L ρ ) = μ(x) − μ(z) = 1.
Par ailleurs l’homotopie Γ et la paire (H
b , J
b ) sont régulières, donc,
compte tenu du théorème 8.1.1 et du théorème 11.1.6, les opérateurs L
u
et L
v sont surjectifs et en particulier
Ker L
u = 0 et Ker L
v = {α∂v/∂s | α ∈ R} .
Considérons maintenant les sous-espaces
W ρ = {0# ρ β | β ∈ Ker L
v
}
et
W
⊥
ρ =
Y ∈ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) |
R×S 1
Y, Z ds dt = 0 ∀ Z ∈ W ρ
.
La reproduction de la démonstration de la proposition 9.4.7 donne le résultat
analogue :
Proposition 11.2.1. Il existe une constante C > 0 tels que, pour tout ρ ≥ ρ 0 ,
on ait
∀ Y ∈ W
⊥
ρ , L ρ (Y ) L p ≥ C Y W 1,p .
Comme au § 9.4, on en déduit que L ρ est surjectif et qu’il admet un
inverse à droite
G ρ : L
p (R × S
1 ; R
2n ) −→ W
⊥
ρ ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ).
Nous sommes donc maintenant en position d’appliquer la méthode de
Newton-Picard et précisément le lemme 9.4.4. En utilisant les mêmes
arguments qu’au § 9.4, on démontre :
Théorème 11.2.2. Il existe ρ 0 > 0 tel que, pour tout ρ ≥ ρ 0 , il existe
γ(ρ) ∈ W
⊥
ρ ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n )
tel que F ρ (γ(ρ)) = 0. Un tel γ est unique dans B(0, ε) ∩ W
⊥
ρ pour un ε > 0
indépendant de ρ. Il satisfait de plus à
(1) lim ρ→+∞ γ(ρ) W 1,p = 0,
(2) l’application ρ → γ(ρ) est dérivable,
(3) lim ρ→+∞ ∂γ/∂ρ W 1,p = 0.