11.2. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.1.16
363
Les propriétés de F
Γ
ρ . La construction de F
Γ
ρ est analogue à celle du F ρ
du § 9.4. L’opérateur de Floer qui le définit dépend de Γ mais, une fois F
Γ
ρ
écrit en coordonnées, cette dépendance n’est plus visible. Autrement dit,
les opérateurs F
Γ
ρ et F ρ ont la même forme et les mêmes propriétés. Pour
simplifier la notation et clarifier la lecture, nous renonçons donc, à partir
d’ici, à indiquer la dépendance en Γ. Récapitulons les propriétés de F ρ :
(1) F ρ (0) = [F
Γ
ρ (w ρ )] Z
ρ
i
, en particulier
F ρ (0) = 0 pour |s| ≥ 1 et
lim
ρ→+∞
F ρ (0) = 0 dans C
∞
loc .
(2) Considérons les opérateurs
F u , F v : B(0, r) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
définis de manière analogue à partir des opérateurs de Floer F
Γ et F à l’aide
des trivialisations Z
u
i et Z
v
i . Posons
L
u = (dF
u ) 0 , L
v = (dF
v ) 0 et L ρ = (dF ρ ) 0 .
Le même calcul qu’au § 9.4 donne
L
u (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S
u (Y )
L
v (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S
v (Y )
L ρ (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S
Γ
ρ (Y )
où J 0 désigne la structure complexe standard de R
2n et les opérateurs
S
u , S
v , S
Γ
ρ : R × S
1
−→ End(R
2n )
satisfont à
lim
s→−∞
S
u (s, t) = S
x (t),
lim
s→+∞
S
u (s, t) = S
y (t)
lim
s→−∞
S
v (s, t) = S
y (t),
lim
s→+∞
S
v (s, t) = S
z (t)
(où S
x , S
y et S
z sont les lacets de matrices symétriques définis par les points
critiques x, y et z), ainsi qu’à
S
Γ
ρ (s, t) = S
u (s + ρ, t) pour s ≤ −1
S
Γ
ρ (s, t) = S
v (s − ρ, t) pour s ≥ 1 et ρ ≥ R
lim
ρ→+∞
S
Γ
ρ (s, t) = S
y (t).
La dernière relation nécessite une petite démonstration que voici. Fixons
un compact K ⊂ R × S
1 . Pour ρ ≥ ρ 0 , la restriction de F
Γ
ρ à W
1,p (K; T W )
est l’opérateur de Floer associé à (H
b , J
b ). Écrite dans la trivialisation
(Z
ρ
i ) i , sa différentielle (dF
Γ
ρ ) wρ est (dF ρ ) 0 , que nous avons notée L ρ .
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Les propriétés de F
Γ
ρ . La construction de F
Γ
ρ est analogue à celle du F ρ
du § 9.4. L’opérateur de Floer qui le définit dépend de Γ mais, une fois F
Γ
ρ
écrit en coordonnées, cette dépendance n’est plus visible. Autrement dit,
les opérateurs F
Γ
ρ et F ρ ont la même forme et les mêmes propriétés. Pour
simplifier la notation et clarifier la lecture, nous renonçons donc, à partir
d’ici, à indiquer la dépendance en Γ. Récapitulons les propriétés de F ρ :
(1) F ρ (0) = [F
Γ
ρ (w ρ )] Z
ρ
i
, en particulier
F ρ (0) = 0 pour |s| ≥ 1 et
lim
ρ→+∞
F ρ (0) = 0 dans C
∞
loc .
(2) Considérons les opérateurs
F u , F v : B(0, r) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
définis de manière analogue à partir des opérateurs de Floer F
Γ et F à l’aide
des trivialisations Z
u
i et Z
v
i . Posons
L
u = (dF
u ) 0 , L
v = (dF
v ) 0 et L ρ = (dF ρ ) 0 .
Le même calcul qu’au § 9.4 donne
L
u (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S
u (Y )
L
v (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S
v (Y )
L ρ (Y ) =
∂Y
∂s
+ J 0
∂Y
∂t
+ S
Γ
ρ (Y )
où J 0 désigne la structure complexe standard de R
2n et les opérateurs
S
u , S
v , S
Γ
ρ : R × S
1
−→ End(R
2n )
satisfont à
lim
s→−∞
S
u (s, t) = S
x (t),
lim
s→+∞
S
u (s, t) = S
y (t)
lim
s→−∞
S
v (s, t) = S
y (t),
lim
s→+∞
S
v (s, t) = S
z (t)
(où S
x , S
y et S
z sont les lacets de matrices symétriques définis par les points
critiques x, y et z), ainsi qu’à
S
Γ
ρ (s, t) = S
u (s + ρ, t) pour s ≤ −1
S
Γ
ρ (s, t) = S
v (s − ρ, t) pour s ≥ 1 et ρ ≥ R
lim
ρ→+∞
S
Γ
ρ (s, t) = S
y (t).
La dernière relation nécessite une petite démonstration que voici. Fixons
un compact K ⊂ R × S
1 . Pour ρ ≥ ρ 0 , la restriction de F
Γ
ρ à W
1,p (K; T W )
est l’opérateur de Floer associé à (H
b , J
b ). Écrite dans la trivialisation
(Z
ρ
i ) i , sa différentielle (dF
Γ
ρ ) wρ est (dF ρ ) 0 , que nous avons notée L ρ .