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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
nous avons
F
Γ
ρ (w ρ )(s, t) = 0 pour |s| ≥ 1 :
– pour s ≤ −1, cela vient du fait que u est solution de l’équation de Floer
à paramètre,
– pour s ≥ 1, on remarque que
F
Γ
ρ =
∂
∂s
+ J
b ∂
∂t
+ grad H
b
pour ρ ≥ ρ 0
et v(s − ρ, t) est une solution de l’équation de Floer associée au couple
(H
b , J
b ).
Le dernier argument donne aussi le fait que
lim
ρ→+∞
F
Γ
ρ (w ρ (s, t)) = 0 dans C
∞
loc
puisque lim ρ→+∞ w ρ (s, t) = y(t).
11.2.b. Construction de ϕ. Nous voulons construire ϕ(ρ), vérifiant
F
Γ
ρ (ϕ(ρ)) = 0, à partir du pré-recollement w ρ . Pour le faire, nous utilisons
la méthode de Newton-Picard, comme au § 9.4.
L’opérateur F
Γ
ρ . Comme au § 9.4, partons de trivialisations unitaires
(Z
u
i (s, t)) i=1,...,2n et (Z
v
i (s, t)) i=1,...,2n du fibré tangent T W le long de u
et v respectivement. Une trivialisation unitaire (Z
ρ
i (s, t)) i=1,...,2n le long
de w ρ s’en déduit, que l’on prolonge par transport parallèle (voir le § 14.5)
en une trivialisation orthonormale de T W dans un voisinage de w ρ (s, t)
(pour tous (s, t)). Cette dernière trivialisation est notée (Z
ρ,ξ
i (s, t)) i=1,...,2n ,
avec
Z
ρ,ξ
i (s, t) ∈ T exp wρ (s,t)ξ W où ξ ∈ T wρ(s,t) W
(et la norme de ξ est inférieure au rayon d’injectivité de la métrique sur W ).
Grâce à ces trivialisations, définissons un opérateur (non linéaire)
F
Γ
ρ : B(0, r) ⊂ W
1,p (R × S
1 ; R
2n ) −→ L
p (R × S
1 ; R
2n )
pour r convenablement choisi (r = r 0 /K, où r 0 est le rayon d’injectivité de
la métrique et K la norme de l’injection W
1,p
⊂ L
∞ , convient).
Par définition, si ξ est écrit
ξ =
y i Z
ρ
i
dans la base (Z
ρ
i ),
F
Γ
ρ (y 1 , . . . , y 2n ) est F
Γ
ρ (exp wρ (ξ)) écrit dans la base (Z
ρ,ξ
i ).