11.2. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 11.1.16
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uniformément sur les compacts. Pour pouvoir procéder comme dans la
démonstration de 9.2.3, il convient d’utiliser la substitution
ϕ ρ (s, t) = ψ ρ (s + ρ, t).
Ainsi ϕ ρ ∈ C
∞ (x, z) sera solution de
∂ϕ ρ
∂s
+ J s+ρ
∂ϕ ρ
∂t
+ grad ϕρ H s+ρ,t = 0
et satisfera aux conditions
lim
ρ→+∞
ϕ ρ (s − ρ, t) = u(s, t) et
lim
ρ→+∞
ϕ ρ (s + ρ, t) = v(s, t)
(c’est-à-dire à la propriété de convergence voulue pour ψ ρ ).
Nous allons, comme dans la démonstration de 9.2.3, procéder en trois
étapes :
(1) Pré-recollement, au § 11.2.a.
(2) Construction de ϕ (et donc de ψ), au § 11.2.b.
(3) Vérification des propriétés de ψ, au § 11.2.c.
11.2.a. Pré-recollement. Soit ρ 0 ≥ 0 tel que l’homotopie Γ(s, t) =
(H s,t , J s ) soit stationnaire et égale à (H
b
t , J
b ) pour s ≥ ρ 0 . En utilisant les
mêmes notations qu’au § 9.3, définissons le pré-recollement w ρ de u et v
pour ρ ≥ ρ 0 par la (même) formule
(1)
w ρ (s, t) =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
u(s + ρ, t)
s i s ≤ −1
exp y(t)
β
− (s) exp
−1
y(t) (u(s + ρ, t))
+ β
+ (s) exp
−1
y(t) (v(s − ρ, t))
si s ∈ [−1, 1]
v(s − ρ, t)
s i s ≥ 1
(on a supposé ρ 0 assez grand pour que w ρ soit ainsi bien défini). On
peut alors de même définir, pour Y ∈ T u P(x, y) et Z ∈ T v P(y, z), le
pré-recollement
Y # ρ Z ∈ T wρ P(x, z)
par la même formule qu’au § 9.3. Puisqu’elles utilisent les mêmes formules,
ces constructions fournissent des objets ayant toutes les propriétés énoncées
dans le § 9.3. Remarquons également que, si F
Γ
ρ est l’opérateur
F
Γ
ρ =
∂
∂s
+ J s+ρ
∂
∂t
+ grad H s+ρ,t ,
(1) Rappelons la convention faite sur la notation ρ ≥ ρ 0 , énoncée page 283, et qui signifie
« ρ assez grand ».