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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Théorème 11.1.16. Soient x un point critique de A H a et y, z des points
critiques de A H b tels que
μ(x) = μ(y) = μ(z) + 1.
Soient u ∈ M
Γ (x, y) et
v ∈ L (H b ,J b ) (y, z). Alors
– il existe un plongement
ψ : [ρ 0 , +∞[ −→ M
Γ (x, z)
(pour un certain ρ 0 > 0) tel que
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) = (u,
v) ;
– de plus, si ( n ) est une suite d’éléments de M
Γ (x, z) qui tend vers (u,
v),
alors n ∈ Im ψ pour n assez grand.
Remarques.
– Les indices μ(y) et μ(z) correspondent à H
b alors que μ(x) correspond
à H
a , une dépendance que nous avons omise dans la notation.
– La convergence de ψ(ρ) vers (u,
v) affirmée dans cet énoncé est à comprendre au sens du théorème 11.1.10.
– Pour démontrer le théorème 11.1.15, il faut aussi recoller des trajectoires
u
∈ L H a ,J a ) (x, y
) et v
∈ M
Γ (y
, z)
(pour μ(y
) = μ(z) = μ(x) − 1). Un tel recollement se fait de manière
analogue à celle décrite par le théorème 11.1.16 et on montre ainsi qu’au
voisinage des points de Π
Γ (x, z), l’espace M
Γ (x, z) ∪ Π
Γ (x, z) est une variété
de dimension 1. On a ainsi une démonstration complète du théorème 11.1.15.
Nous consacrons la section qui suit à cette démonstration.
11.2. Démonstration du théorème 11.1.16
Pour démontrer le théorème 11.1.16, nous fixons un relèvement v ∈
M (H b ,J b ) (y, z) de
v. Nous voulons définir, pour ρ ≥ ρ 0 , une application
ψ ρ : R × S
1
−→ W
qui soit, pour tout ρ, une solution de l’équation de Floer à paramètre
∂ψ ρ
∂s
+ J s
∂ψ ρ
∂t
+ grad ψρ H s,t = 0.
La convergence vers (u,
v) pour ρ → +∞ sera démontrée si l’on a prouvé
que
lim
ρ→+∞
ψ ρ (s, t) = u(s, t) et
lim
ρ→+∞
ψ ρ (s + 2ρ, t) = v(s, t)