11.1. LE MORPHISME Φ
Γ
359
Pour finir de remplir les objectifs que nous nous sommes fixés pour ce
paragraphe, il nous reste à prouver que Φ
Γ est un morphisme de complexes,
c’est-à-dire que
Φ
Γ
◦ ∂ (H a ,J a ) = ∂ (H b ,J b ) ◦ Φ
Γ .
Il nous faut montrer que, si x ∈ Crit A H a , pour tout z ∈ Crit A H b tels que
μ(x) − μ(z) = 1, l’égalité qui suit a lieu (modulo 2)
y
∈Crit A H a
μ(x)−μ(y
)=1
n
a (x, y
)n
Γ (y
, z) =
y∈Crit A H b
μ(x)=μ(y)
n
Γ (x, y)n
b (y, z)
(il va sans dire que dans cette écriture, n
a et n
b sont les coefficients qui
apparaissent dans les différentielles ∂ (H a ,J a ) et ∂ (H b ,J b ) respectivement). Il
nous suffira de vérifier que le nombre de points de la variété compacte de
dimension 0
Π
Γ (x, z) =
y
∈Crit A H a
μ(x)−μ(y
)=1
L (H a ,J a ) (x, y
) × M
Γ (y
, z)∪
∪
y∈Crit A H b
μ(x)=μ(y)
M
Γ (x, y) × L (H b ,J b ) (y, z)
est pair. Ce sera une conséquence du théorème :
Théorème 11.1.15. Pour x ∈ Crit A H a et z ∈ Crit A H b avec μ(x) − μ(z) = 1,
l’espace M
Γ (x, z) ∪ Π
Γ (x, z) est une variété à bord compacte de dimension 1
dont le bord est Π
Γ (x, z).
Nous savons (en vertu du théorème 11.1.6) que M
Γ (x, z) est une variété
(sans bord) de dimension 1. En utilisant la convergence vers des trajectoires
brisées décrites dans l’énoncé du théorème 11.1.10, définissons une topologie
sur M
Γ (x, z) ∪ Π
Γ (x, z), compatible avec celle de M
Γ (x, z) (c’est-à-dire la
topologie de la convergence C
∞
loc ). Comme dans la proposition 9.1.2, cette
topologie est séparée et le théorème 11.1.10 nous assure donc que cet espace
est compact. Il reste à démontrer la partie « variété à bord » du théorème,
c’est-à-dire à étudier la structure de M
Γ (x, z) ∪ Π
Γ (x, z) près des points de
Π
Γ (x, z). C’est ce que nous faisons maintenant.
11.1.d. Le recollement. Pour μ(x) − μ(z) = 1, les éléments de Π
Γ (x, z)
sont des trajectoires brisées (u, v). Une de ces trajectoires est solution de
l’équation de Floer à paramètre et l’autre de l’équation de Floer sans paramètre associée à (H
a , J
a ) ou à (H
b , J
b ). Pour démontrer le théorème 11.1.15,
il suffira de recoller les trajectoires u et v comme au § 9.2. Nous démontrons
le théorème ci-dessous, analogue au théorème de recollement 9.2.3.
Γ
359
Pour finir de remplir les objectifs que nous nous sommes fixés pour ce
paragraphe, il nous reste à prouver que Φ
Γ est un morphisme de complexes,
c’est-à-dire que
Φ
Γ
◦ ∂ (H a ,J a ) = ∂ (H b ,J b ) ◦ Φ
Γ .
Il nous faut montrer que, si x ∈ Crit A H a , pour tout z ∈ Crit A H b tels que
μ(x) − μ(z) = 1, l’égalité qui suit a lieu (modulo 2)
y
∈Crit A H a
μ(x)−μ(y
)=1
n
a (x, y
)n
Γ (y
, z) =
y∈Crit A H b
μ(x)=μ(y)
n
Γ (x, y)n
b (y, z)
(il va sans dire que dans cette écriture, n
a et n
b sont les coefficients qui
apparaissent dans les différentielles ∂ (H a ,J a ) et ∂ (H b ,J b ) respectivement). Il
nous suffira de vérifier que le nombre de points de la variété compacte de
dimension 0
Π
Γ (x, z) =
y
∈Crit A H a
μ(x)−μ(y
)=1
L (H a ,J a ) (x, y
) × M
Γ (y
, z)∪
∪
y∈Crit A H b
μ(x)=μ(y)
M
Γ (x, y) × L (H b ,J b ) (y, z)
est pair. Ce sera une conséquence du théorème :
Théorème 11.1.15. Pour x ∈ Crit A H a et z ∈ Crit A H b avec μ(x) − μ(z) = 1,
l’espace M
Γ (x, z) ∪ Π
Γ (x, z) est une variété à bord compacte de dimension 1
dont le bord est Π
Γ (x, z).
Nous savons (en vertu du théorème 11.1.6) que M
Γ (x, z) est une variété
(sans bord) de dimension 1. En utilisant la convergence vers des trajectoires
brisées décrites dans l’énoncé du théorème 11.1.10, définissons une topologie
sur M
Γ (x, z) ∪ Π
Γ (x, z), compatible avec celle de M
Γ (x, z) (c’est-à-dire la
topologie de la convergence C
∞
loc ). Comme dans la proposition 9.1.2, cette
topologie est séparée et le théorème 11.1.10 nous assure donc que cet espace
est compact. Il reste à démontrer la partie « variété à bord » du théorème,
c’est-à-dire à étudier la structure de M
Γ (x, z) ∪ Π
Γ (x, z) près des points de
Π
Γ (x, z). C’est ce que nous faisons maintenant.
11.1.d. Le recollement. Pour μ(x) − μ(z) = 1, les éléments de Π
Γ (x, z)
sont des trajectoires brisées (u, v). Une de ces trajectoires est solution de
l’équation de Floer à paramètre et l’autre de l’équation de Floer sans paramètre associée à (H
a , J
a ) ou à (H
b , J
b ). Pour démontrer le théorème 11.1.15,
il suffira de recoller les trajectoires u et v comme au § 9.2. Nous démontrons
le théorème ci-dessous, analogue au théorème de recollement 9.2.3.