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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Il est donc acquis que lim s n = +∞, donc (d’après le lemme 11.1.12),
lim
n→+∞
u n · s n = v
0
∈ M (H b ,J b ) .
Soit s < 0. Pour n assez grand, s
< s+s n < s n , de sorte que, par définition
de s n ,
u n (s + s n ) ∈ B(y
ε) pour n assez grand,
ce qui implique que v
0 (s) ∈ B(y
, ε). Donc
v
0
∈ M (H b ,J b ) (y
, y 1 ) pour un y 1 ∈ Crit A H b .
La démonstration se déroule ensuite (et se termine) de manière totalement analogue à celle du corollaire 9.1.8, elle conduit à une limite qui est
une trajectoire brisée (v
0 , v
1 , . . . , v
) avec v
j
∈ M (H b ,J b ) (y j , y j+1 ) (y 0 = y
et y = y).
Supposons maintenant que x
= x. Un raisonnement analogue utilisant s
tel que w(s) ∈ B(x
, ε) pour s < s , puis le dernier point d’entrée s
n < s
de u n (s) dans B(x
, ε) produit une suite s
n qui tend vers −∞ et telle que
lim u n · s
n = u
•
∈ M(x 1 , x
). Puis, comme dans la démonstration de 9.1.8, la
limite est une trajectoire brisée (u
0 , u
1 , . . . , u
k ) avec u
i
∈ M (H a ,J a ) (x i , x i+1 )
(x 0 = y, x k = x). Et le théorème est démontré.
Corollaire 11.1.13. Si μ(x) = μ(y), l’espace M
Γ (x, y) est compact.
Démonstration. Le corollaire 11.1.11 montre qu’une suite (u n ) de M
Γ (x, y)
ne peut pas tendre vers une trajectoire brisée.
L’application
Φ
Γ
k : CF k (H
a , J
a ) −→ CF k (H
b , J
b )
est donc bien définie par la formule
Φ
Γ
k (x) =
y∈Crit A H b
μ(y)=k
n
Γ (x, y)y.
Vérifions aussi :
Proposition 11.1.14. Si (H
a , J
a ) = (H
b , J
b ) et Γ = Id, alors Φ
Γ
k est l’identité
pour tout k.
Démonstration. Sous l’hypothèse, M
Γ (x, y) = M (H a ,J a ) (x, y). Si en plus
μ(x) = μ(y), nous savons (voir la remarque § 9.1.5) que
M (H a ,J a ) (x, y) =
∅
si x = y
{x} si x = y.
Donc Φ
Γ
k = Id.
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Il est donc acquis que lim s n = +∞, donc (d’après le lemme 11.1.12),
lim
n→+∞
u n · s n = v
0
∈ M (H b ,J b ) .
Soit s < 0. Pour n assez grand, s
< s+s n < s n , de sorte que, par définition
de s n ,
u n (s + s n ) ∈ B(y
ε) pour n assez grand,
ce qui implique que v
0 (s) ∈ B(y
, ε). Donc
v
0
∈ M (H b ,J b ) (y
, y 1 ) pour un y 1 ∈ Crit A H b .
La démonstration se déroule ensuite (et se termine) de manière totalement analogue à celle du corollaire 9.1.8, elle conduit à une limite qui est
une trajectoire brisée (v
0 , v
1 , . . . , v
) avec v
j
∈ M (H b ,J b ) (y j , y j+1 ) (y 0 = y
et y = y).
Supposons maintenant que x
= x. Un raisonnement analogue utilisant s
tel que w(s) ∈ B(x
, ε) pour s < s , puis le dernier point d’entrée s
n < s
de u n (s) dans B(x
, ε) produit une suite s
n qui tend vers −∞ et telle que
lim u n · s
n = u
•
∈ M(x 1 , x
). Puis, comme dans la démonstration de 9.1.8, la
limite est une trajectoire brisée (u
0 , u
1 , . . . , u
k ) avec u
i
∈ M (H a ,J a ) (x i , x i+1 )
(x 0 = y, x k = x). Et le théorème est démontré.
Corollaire 11.1.13. Si μ(x) = μ(y), l’espace M
Γ (x, y) est compact.
Démonstration. Le corollaire 11.1.11 montre qu’une suite (u n ) de M
Γ (x, y)
ne peut pas tendre vers une trajectoire brisée.
L’application
Φ
Γ
k : CF k (H
a , J
a ) −→ CF k (H
b , J
b )
est donc bien définie par la formule
Φ
Γ
k (x) =
y∈Crit A H b
μ(y)=k
n
Γ (x, y)y.
Vérifions aussi :
Proposition 11.1.14. Si (H
a , J
a ) = (H
b , J
b ) et Γ = Id, alors Φ
Γ
k est l’identité
pour tout k.
Démonstration. Sous l’hypothèse, M
Γ (x, y) = M (H a ,J a ) (x, y). Si en plus
μ(x) = μ(y), nous savons (voir la remarque § 9.1.5) que
M (H a ,J a ) (x, y) =
∅
si x = y
{x} si x = y.
Donc Φ
Γ
k = Id.