11.1. LE MORPHISME Φ
Γ
357
Mais v n = u n · s n est solution de l’équation de type Floer
∂v n
∂s
+ J s+sn
∂v n
∂t
− X s+sn,t
= 0.
La régularité elliptique (toujours la proposition 6.5.3) implique alors que v
et de classe C
∞ et que (v n ) converge vers v dans C
∞
loc .
Il reste à vérifier que v ∈ M (H b ,J b ) . Considérons un intervalle fermé
[−r, r] ⊂ R et le compact K = [−r, r] × S
1 dans R × S
1 . Pour n assez
grand, s n > R + r, de sorte que, pour (s, t) ∈ K et n assez grand, nous
avons s + s n > R et donc
∂v n
∂s
+ J
b
∂v n
∂t
− X
b
t (v n )
= 0.
En faisant tendre n vers l’infini dans cette équation, nous obtenons bien que
la limite v est dans M (H b ,J b ) .
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 11.1.10 proprement dit.
Comme dans la démonstration du théorème 6.5.6, choisissons ε > 0 assez
petit pour que les boules ouvertes
B(z, ε) = {γ ∈ LW | d ∞ (z, γ) < ε}
soient disjointes pour z ∈ Crit A H a (la même propriété étant vraie pour
z ∈ Crit A H b ).
Dans ce qui suit et pour simplifier les notations, nous ne faisons pas
figurer les nécessaires extractions de sous-suites. Comme M
Γ est compact
(théorème 11.1.4), nous avons w = lim u n ∈ M
Γ . En vertu du théorème
11.1.1, il existe des points critiques x
de A H a et y
de A H b tels que w ∈
M(x
, y
). Reprenons l’argument de la démonstration du corollaire 9.1.8. Il
existe s
∈ R tel que w(s) ∈ B(y
, ε) pour s ≥ s
. Comme w = lim u n , nous
avons aussi
u n (s
) ∈ B(y
, ε) pour n assez grand.
Si y
= y (sinon, il n’y a rien à démontrer), la trajectoire doit sortir de la
boule B(y
, ε) pour un s ≥ s
. Appelons s n son premier point de sortie
s n = sup {s ≥ s
| u n (σ) ∈ B(y
, ε) pour σ ∈ [s
, s]} .
Montrons que la suite (s n ) tend vers +∞. Supposons en effet qu’elle soit
bornée et donc, modulo extraction d’une sous-suite, qu’elle tende vers un
s • ∈ R. Comme la convergence de (u n ) vers w a lieu dans C
∞
loc et comme
s • ≥ s
,
lim
n→+∞
u n (s n ) = w(s • ) ∈ B(y
, ε).
Mais, par définition de s n , nous savons que u n (s n ) ∈ ∂B(y
, ε) pour tout n,
ce qui est contradictoire avec l’assertion précédente.
Γ
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Mais v n = u n · s n est solution de l’équation de type Floer
∂v n
∂s
+ J s+sn
∂v n
∂t
− X s+sn,t
= 0.
La régularité elliptique (toujours la proposition 6.5.3) implique alors que v
et de classe C
∞ et que (v n ) converge vers v dans C
∞
loc .
Il reste à vérifier que v ∈ M (H b ,J b ) . Considérons un intervalle fermé
[−r, r] ⊂ R et le compact K = [−r, r] × S
1 dans R × S
1 . Pour n assez
grand, s n > R + r, de sorte que, pour (s, t) ∈ K et n assez grand, nous
avons s + s n > R et donc
∂v n
∂s
+ J
b
∂v n
∂t
− X
b
t (v n )
= 0.
En faisant tendre n vers l’infini dans cette équation, nous obtenons bien que
la limite v est dans M (H b ,J b ) .
Nous pouvons maintenant démontrer le théorème 11.1.10 proprement dit.
Comme dans la démonstration du théorème 6.5.6, choisissons ε > 0 assez
petit pour que les boules ouvertes
B(z, ε) = {γ ∈ LW | d ∞ (z, γ) < ε}
soient disjointes pour z ∈ Crit A H a (la même propriété étant vraie pour
z ∈ Crit A H b ).
Dans ce qui suit et pour simplifier les notations, nous ne faisons pas
figurer les nécessaires extractions de sous-suites. Comme M
Γ est compact
(théorème 11.1.4), nous avons w = lim u n ∈ M
Γ . En vertu du théorème
11.1.1, il existe des points critiques x
de A H a et y
de A H b tels que w ∈
M(x
, y
). Reprenons l’argument de la démonstration du corollaire 9.1.8. Il
existe s
∈ R tel que w(s) ∈ B(y
, ε) pour s ≥ s
. Comme w = lim u n , nous
avons aussi
u n (s
) ∈ B(y
, ε) pour n assez grand.
Si y
= y (sinon, il n’y a rien à démontrer), la trajectoire doit sortir de la
boule B(y
, ε) pour un s ≥ s
. Appelons s n son premier point de sortie
s n = sup {s ≥ s
| u n (σ) ∈ B(y
, ε) pour σ ∈ [s
, s]} .
Montrons que la suite (s n ) tend vers +∞. Supposons en effet qu’elle soit
bornée et donc, modulo extraction d’une sous-suite, qu’elle tende vers un
s • ∈ R. Comme la convergence de (u n ) vers w a lieu dans C
∞
loc et comme
s • ≥ s
,
lim
n→+∞
u n (s n ) = w(s • ) ∈ B(y
, ε).
Mais, par définition de s n , nous savons que u n (s n ) ∈ ∂B(y
, ε) pour tout n,
ce qui est contradictoire avec l’assertion précédente.