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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
u n
s ≤ −R
s ≥ R
lim u n
x
y
x
y
x
y
trajectoire bris´ ee
pour (H a ,J
a )
trajectoire bris´ ee
pour (H b ,J b )
Figure 2
Démonstration. D’après le théorème 8.1.2 (et le § 9.1.a), nous savons que
M (H a ,J a ) (x i , x i+1 ) = ∅ si μ(x i ) − μ(x i+1 ) < 1
M (H b ,J b ) (y j , y j+1 ) = ∅ si μ(y j ) − μ(y j+1 ) < 1
donc nous avons, pour 0 ≤ i ≤ k − 1 et 0 ≤ j ≤ − 1,
μ(x i ) − μ(x i+1 ) ≥ 1 et μ(y j ) − μ(y j+1 ) ≥ 1.
Par le théorème 11.1.6, M
Γ (x k , y 0 ) = ∅ implique que μ(x k ) ≥ μ(y 0 ). En
sommant toutes ces inégalités, on trouve l’inégalité voulue (rappelons que
x 0 = x et y = y).
Démonstration du théorème 11.1.10. Elle commence par un lemme.
Lemme 11.1.12. Soient (u n ) une suite dans M
Γ (x, y) et (s n ) une suite de
nombres réels tels que lim s n = +∞. Alors il existe une sous-suite de (u n )
(encore notée (u n )) et un élément v ∈ M (H b ,J b ) tels que lim u n · s n = v. De
même si lim s n = −∞, il existe un u ∈ M (H a ,J a ) tel que (modulo extraction
d’une sous-suite) lim u n · s n = u.
Démonstration. Comme précédemment, nous omettons la variable t dans
l’écriture de u n = u n (s, t). Il suffit bien entendu de considérer le cas d’une
suite (s n ) tendant vers +∞. Comme u n ∈ M
Γ , la conclusion de la proposition 11.1.5, à savoir le fait que
grad (s,t) u
≤ A, est vraie pour u n et donc
aussi pour u n · s n , de sorte que la famille (u n · s n ) est équicontinue et qu’il
existe, d’après Ascoli (voir au besoin le § 16.1), une sous-suite de (u n · s n )
qui converge, pour la topologie C
0
loc , vers une limite v continue.
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
u n
s ≤ −R
s ≥ R
lim u n
x
y
x
y
x
y
trajectoire bris´ ee
pour (H a ,J
a )
trajectoire bris´ ee
pour (H b ,J b )
Figure 2
Démonstration. D’après le théorème 8.1.2 (et le § 9.1.a), nous savons que
M (H a ,J a ) (x i , x i+1 ) = ∅ si μ(x i ) − μ(x i+1 ) < 1
M (H b ,J b ) (y j , y j+1 ) = ∅ si μ(y j ) − μ(y j+1 ) < 1
donc nous avons, pour 0 ≤ i ≤ k − 1 et 0 ≤ j ≤ − 1,
μ(x i ) − μ(x i+1 ) ≥ 1 et μ(y j ) − μ(y j+1 ) ≥ 1.
Par le théorème 11.1.6, M
Γ (x k , y 0 ) = ∅ implique que μ(x k ) ≥ μ(y 0 ). En
sommant toutes ces inégalités, on trouve l’inégalité voulue (rappelons que
x 0 = x et y = y).
Démonstration du théorème 11.1.10. Elle commence par un lemme.
Lemme 11.1.12. Soient (u n ) une suite dans M
Γ (x, y) et (s n ) une suite de
nombres réels tels que lim s n = +∞. Alors il existe une sous-suite de (u n )
(encore notée (u n )) et un élément v ∈ M (H b ,J b ) tels que lim u n · s n = v. De
même si lim s n = −∞, il existe un u ∈ M (H a ,J a ) tel que (modulo extraction
d’une sous-suite) lim u n · s n = u.
Démonstration. Comme précédemment, nous omettons la variable t dans
l’écriture de u n = u n (s, t). Il suffit bien entendu de considérer le cas d’une
suite (s n ) tendant vers +∞. Comme u n ∈ M
Γ , la conclusion de la proposition 11.1.5, à savoir le fait que
grad (s,t) u
≤ A, est vraie pour u n et donc
aussi pour u n · s n , de sorte que la famille (u n · s n ) est équicontinue et qu’il
existe, d’après Ascoli (voir au besoin le § 16.1), une sous-suite de (u n · s n )
qui converge, pour la topologie C
0
loc , vers une limite v continue.