11.1. LE MORPHISME Φ
Γ
355
que nous avons en vue sera défini comme suit. Pour x un point critique de
A H a d’indice μ(x) = k, nous poserons
Φ
Γ
k (x) =
y∈Crit A H b
μ(y)=k
n
Γ (x, y)y,
n
Γ (x, y) désignant le nombre (modulo 2) d’éléments de M
Γ (x, y)... dont nous
devrons, pour que ce Φ
Γ soit bien défini, montrer la finitude. Nous devrons
aussi vérifier que ce Φ
Γ est bien un morphisme de complexes, c’est-à-dire
que
Φ
Γ
◦ ∂ (H a ,J a ) = ∂ (H b ,J b ) ◦ Φ
Γ .
À ces fins, nous avons besoin du résultat de compacité énoncé dans le théorème suivant, qui est une version paramétrée du théorème 9.1.6 :
Théorème 11.1.10. Soit (u n ) une suite d’éléments de M
Γ (x, y). Il existe
– une sous-suite de (u n ),
– des points critiques x = x 0 , x 1 , . . . , x k de A H a ,
– des points critiques y 0 , y 1 , . . . , y = y de A H b ,
– des suites réelles (s
i
n ), pour 0 ≤ i ≤ k − 1, tendant vers −∞, et (s
j
n ),
pour 0 ≤ j ≤ − 1, tendant vers +∞,
– des éléments u
i
∈ M (H a ,J a ) (x i , x i+1 ) (pour 0 ≤ i ≤ k − 1) et des
éléments v
j
∈ M (H b ,J b ) (y j , y j+1 ),
– un élément w ∈ M
Γ (x k , y 0 )
tels que, pour 0 ≤ i ≤ k − 1 et pour 0 ≤ j ≤ − 1,
lim
n→+∞
u n · s
i
n = u
i ,
lim
n→+∞
u n · s
j
n = v
j
et tels que
lim
n→+∞
u n = w.
Ce théorème affirme que les suites de trajectoires dans M
Γ ont, à extraction de sous-suites près, des limites, qui sont des concaténations entre (au
plus) une trajectoire brisée correspondant au couple (H
a , J
a ), exactement
une trajectoire de M
Γ et (au plus) une trajectoire brisée correspondant au
coupe (H
b , J
b ).
Avant de donner une démonstration du théorème 11.1.10, énonçons-en
une conséquence immédiate (une majoration du nombre de brisures) :
Corollaire 11.1.11. Sous les hypothèses du théorème 11.1.10,
μ(x) − μ(y) ≥ k + .
Γ
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que nous avons en vue sera défini comme suit. Pour x un point critique de
A H a d’indice μ(x) = k, nous poserons
Φ
Γ
k (x) =
y∈Crit A H b
μ(y)=k
n
Γ (x, y)y,
n
Γ (x, y) désignant le nombre (modulo 2) d’éléments de M
Γ (x, y)... dont nous
devrons, pour que ce Φ
Γ soit bien défini, montrer la finitude. Nous devrons
aussi vérifier que ce Φ
Γ est bien un morphisme de complexes, c’est-à-dire
que
Φ
Γ
◦ ∂ (H a ,J a ) = ∂ (H b ,J b ) ◦ Φ
Γ .
À ces fins, nous avons besoin du résultat de compacité énoncé dans le théorème suivant, qui est une version paramétrée du théorème 9.1.6 :
Théorème 11.1.10. Soit (u n ) une suite d’éléments de M
Γ (x, y). Il existe
– une sous-suite de (u n ),
– des points critiques x = x 0 , x 1 , . . . , x k de A H a ,
– des points critiques y 0 , y 1 , . . . , y = y de A H b ,
– des suites réelles (s
i
n ), pour 0 ≤ i ≤ k − 1, tendant vers −∞, et (s
j
n ),
pour 0 ≤ j ≤ − 1, tendant vers +∞,
– des éléments u
i
∈ M (H a ,J a ) (x i , x i+1 ) (pour 0 ≤ i ≤ k − 1) et des
éléments v
j
∈ M (H b ,J b ) (y j , y j+1 ),
– un élément w ∈ M
Γ (x k , y 0 )
tels que, pour 0 ≤ i ≤ k − 1 et pour 0 ≤ j ≤ − 1,
lim
n→+∞
u n · s
i
n = u
i ,
lim
n→+∞
u n · s
j
n = v
j
et tels que
lim
n→+∞
u n = w.
Ce théorème affirme que les suites de trajectoires dans M
Γ ont, à extraction de sous-suites près, des limites, qui sont des concaténations entre (au
plus) une trajectoire brisée correspondant au couple (H
a , J
a ), exactement
une trajectoire de M
Γ et (au plus) une trajectoire brisée correspondant au
coupe (H
b , J
b ).
Avant de donner une démonstration du théorème 11.1.10, énonçons-en
une conséquence immédiate (une majoration du nombre de brisures) :
Corollaire 11.1.11. Sous les hypothèses du théorème 11.1.10,
μ(x) − μ(y) ≥ k + .