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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
B
Z
u(C δ )
Im( u)
Figure 1
On obtient alors
R×S 1
dh(Z(s, t)) ds dt =
C δ
dh s,t (Z(s, t)) ds dt
=
Cδ
dh s,t
∂γ s,t (σ)
∂σ
σ=0
ds dt
=
Cδ
∂
∂σ
σ=0
h s,t (γ (s,t) (σ)) ds dt
=
C δ
β(s, t) ds dt.
Il suffit de choisir β de sorte que cette intégrale ne soit pas nulle pour aboutir
à une contradiction, qui montre que Z(s, t) = 0 pour tous (s, t) ∈ R × S
1 .
Ce qui termine la démonstration du lemme.
La fin de la démonstration du théorème 11.1.6 est analogue à celles de
8.1.1 et 8.1.2.
Nous appellerons homotopie régulière une homotopie satisfaisant à la
conclusion du théorème 11.1.6.
Remarque. La perturbation h étant à support compact, l’homotopie Γ(h)
joint (H
a , J
a ) et (H
b , J
b ) et elle est stationnaire pour |s| ≥ R (pour un R
assez grand).
11.1.c. La compacité. Soit Γ une homotopie régulière reliant (H
a , J
a ) à
(H
b , J
b ). Le morphisme
Φ
Γ : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
b , J
b )
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
B
Z
u(C δ )
Im( u)
Figure 1
On obtient alors
R×S 1
dh(Z(s, t)) ds dt =
C δ
dh s,t (Z(s, t)) ds dt
=
Cδ
dh s,t
∂γ s,t (σ)
∂σ
σ=0
ds dt
=
Cδ
∂
∂σ
σ=0
h s,t (γ (s,t) (σ)) ds dt
=
C δ
β(s, t) ds dt.
Il suffit de choisir β de sorte que cette intégrale ne soit pas nulle pour aboutir
à une contradiction, qui montre que Z(s, t) = 0 pour tous (s, t) ∈ R × S
1 .
Ce qui termine la démonstration du lemme.
La fin de la démonstration du théorème 11.1.6 est analogue à celles de
8.1.1 et 8.1.2.
Nous appellerons homotopie régulière une homotopie satisfaisant à la
conclusion du théorème 11.1.6.
Remarque. La perturbation h étant à support compact, l’homotopie Γ(h)
joint (H
a , J
a ) et (H
b , J
b ) et elle est stationnaire pour |s| ≥ R (pour un R
assez grand).
11.1.c. La compacité. Soit Γ une homotopie régulière reliant (H
a , J
a ) à
(H
b , J
b ). Le morphisme
Φ
Γ : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
b , J
b )