11.1. LE MORPHISME Φ
Γ
353
Z ∈ L
q (u
T W ) (q est tel que 1/p + 1/q = 1), de classe C
∞ , tel que, pour
tout h ∈ C
∞
ε (H 0 ) et pour tout Y ∈ W
1,p (u
T W ), on a
Z, (dF
Γ ) u (Y ) = 0 et Z, grad u (h) = 0.
Ensuite on remplace le lemme 8.5.3 par le résultat plus fort :
Lemme 11.1.9. Si Z ∈ L
q (u
T W )∩C
∞ (R×S
1 ; T W ) vérifie Z, grad u h = 0
pour tout h ∈ C
∞
ε (H 0 ), alors Z est identiquement nul.
Ce lemme étant en contradiction avec ce qui précède, on en déduit, par
l’absurde, que Φ est surjectif, et la proposition 11.1.8 est démontrée.
Démonstration du lemme 11.1.9. La relation qui est l’hypothèse du lemme
se réécrit
R × S 1
dh(Z) ds dt = 0 pour tout h ∈ C
∞
ε (H 0 ).
Considérons l’application
u : R × S
1
−→ W × R × S
1
(s, t) −→ (u(s, t), s, t).
On montre facilement que
u est un plongement. On voit Z comme un champ
de vecteurs le long de
u sur W × R × S
1 , qui n’a pas de composante dans
les directions ∂/∂t ∈ T S
1 et ∂/∂s ∈ T R. En particulier, Z n’est pas dans
le plan tangent à
u en les points où il n’est pas nul.
Supposons par l’absurde qu’il existe un tel point (s 0 , t 0 ) ∈ R × S
1 . On
procède exactement comme dans la preuve de 8.5.3 : on considère un petit voisinage C δ de (s 0 , t 0 ) dans R × S
1 tel que Z(s, t) n’est pas nul (et
donc transverse à
u pour (s, t) dans ce voisinage). On prend une fonction à
support dans ce voisinage
β : R × S
1
−→ R
et on définit h ∈ C
∞
ε (H 0 ), à support dans un voisinage tubulaire B de
u(C δ ),
de sorte que, si γ (s,t) (σ) est la courbe intégrale de Z qui passe en
u(s, t) pour
σ = 0, on ait :
h s,t (γ (s,t) (σ)) = β(s, t) · σ pour |σ| ≤ η
(η > 0 est assez petit). Comme Z est transverse à
u(C δ ), la fonction h est
bien définie. On suppose également que
B ∩ Im( u) =
u(C δ )
ce qui signifie en particulier que
Supp(h) ∩ Im( u) =
u(C δ )
(voir la figure 1).
Γ
353
Z ∈ L
q (u
T W ) (q est tel que 1/p + 1/q = 1), de classe C
∞ , tel que, pour
tout h ∈ C
∞
ε (H 0 ) et pour tout Y ∈ W
1,p (u
T W ), on a
Z, (dF
Γ ) u (Y ) = 0 et Z, grad u (h) = 0.
Ensuite on remplace le lemme 8.5.3 par le résultat plus fort :
Lemme 11.1.9. Si Z ∈ L
q (u
T W )∩C
∞ (R×S
1 ; T W ) vérifie Z, grad u h = 0
pour tout h ∈ C
∞
ε (H 0 ), alors Z est identiquement nul.
Ce lemme étant en contradiction avec ce qui précède, on en déduit, par
l’absurde, que Φ est surjectif, et la proposition 11.1.8 est démontrée.
Démonstration du lemme 11.1.9. La relation qui est l’hypothèse du lemme
se réécrit
R × S 1
dh(Z) ds dt = 0 pour tout h ∈ C
∞
ε (H 0 ).
Considérons l’application
u : R × S
1
−→ W × R × S
1
(s, t) −→ (u(s, t), s, t).
On montre facilement que
u est un plongement. On voit Z comme un champ
de vecteurs le long de
u sur W × R × S
1 , qui n’a pas de composante dans
les directions ∂/∂t ∈ T S
1 et ∂/∂s ∈ T R. En particulier, Z n’est pas dans
le plan tangent à
u en les points où il n’est pas nul.
Supposons par l’absurde qu’il existe un tel point (s 0 , t 0 ) ∈ R × S
1 . On
procède exactement comme dans la preuve de 8.5.3 : on considère un petit voisinage C δ de (s 0 , t 0 ) dans R × S
1 tel que Z(s, t) n’est pas nul (et
donc transverse à
u pour (s, t) dans ce voisinage). On prend une fonction à
support dans ce voisinage
β : R × S
1
−→ R
et on définit h ∈ C
∞
ε (H 0 ), à support dans un voisinage tubulaire B de
u(C δ ),
de sorte que, si γ (s,t) (σ) est la courbe intégrale de Z qui passe en
u(s, t) pour
σ = 0, on ait :
h s,t (γ (s,t) (σ)) = β(s, t) · σ pour |σ| ≤ η
(η > 0 est assez petit). Comme Z est transverse à
u(C δ ), la fonction h est
bien définie. On suppose également que
B ∩ Im( u) =
u(C δ )
ce qui signifie en particulier que
Supp(h) ∩ Im( u) =
u(C δ )
(voir la figure 1).