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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Pour ne pas alourdir l’écriture, nous n’incluons pas dans la notation le
fait que les indices de Maslov μ(x) et μ(y) sont calculés avec les flots de X
a
et X
b respectivement.
La démonstration du théorème 11.1.6 est à peu près analogue à celle de
8.1.2. Notons
F
Γ : W
1,p (R × S
1 , u
T W ) −→ L
p (R × S
1 , u
T W )
défini par
F
Γ (u) =
∂u
∂s
+ J s
∂u
∂t
− X s,t
.
L’ingrédient principal de la démonstration du théorème 11.1.6 est le théorème 11.1.7, analogue du théorème 8.1.5 :
Théorème 11.1.7. Pour tout u ∈ M
Γ (x, y), l’opérateur linéarisé de F
Γ est un
opérateur de Fredholm d’indice μ(x) − μ(y).
La démonstration est identique à celle de 8.1.5 et ceci parce que, puisque Γ
est stationnaire pour |s| ≥ R, l’opérateur linéarisé (dF
Γ ) u , écrit dans une
base unitaire le long de u, a la même forme
(dF
Γ ) u (Y ) = ∂Y + SY
que le linéarisé (dF) u , avec S(s, t) une matrice qui tend vers une matrice
symétrique quand s → ±∞.
Suivant le modèle du chapitre 8 et plus précisément le plan dessiné
page 201, le théorème 11.1.7 sert à prouver la version à paramètre de la
proposition 8.1.3, qui est une conséquence immédiate de l’analogue suivant
de la proposition 8.1.4, via le théorème des fonctions implicites :
Proposition 11.1.8. Soit Γ = (H 0 , J 0 ) une homotopie entre (H
a , J
a ) et
(H
b , J
b ). Si u ∈ M
Γ (x, y), alors l’application
Φ : W
1,p (u
W ) × C
∞
ε (H 0 ) −→ L
p (u
W )
(Y, h) −→ (dF
Γ ) u (Y ) + grad u h
est surjective.
Démonstration. La dépendance en s des hamiltoniens de C
∞
ε (H 0 ) rend la
preuve de la surjectivité considérablement plus simple que celle de la proposition 8.1.4 : l’espace de départ est plus grand. Nous n’avons plus besoin
de la régularité (c’est-à-dire de 8.5.4) ni du § 8.6 qui explique cette notion.
Voici les détails.
On commence, comme au § 8.5, par démontrer de manière analogue
à 8.5.1, que, si Φ n’est pas surjective, alors il existe un champ non nul
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Pour ne pas alourdir l’écriture, nous n’incluons pas dans la notation le
fait que les indices de Maslov μ(x) et μ(y) sont calculés avec les flots de X
a
et X
b respectivement.
La démonstration du théorème 11.1.6 est à peu près analogue à celle de
8.1.2. Notons
F
Γ : W
1,p (R × S
1 , u
T W ) −→ L
p (R × S
1 , u
T W )
défini par
F
Γ (u) =
∂u
∂s
+ J s
∂u
∂t
− X s,t
.
L’ingrédient principal de la démonstration du théorème 11.1.6 est le théorème 11.1.7, analogue du théorème 8.1.5 :
Théorème 11.1.7. Pour tout u ∈ M
Γ (x, y), l’opérateur linéarisé de F
Γ est un
opérateur de Fredholm d’indice μ(x) − μ(y).
La démonstration est identique à celle de 8.1.5 et ceci parce que, puisque Γ
est stationnaire pour |s| ≥ R, l’opérateur linéarisé (dF
Γ ) u , écrit dans une
base unitaire le long de u, a la même forme
(dF
Γ ) u (Y ) = ∂Y + SY
que le linéarisé (dF) u , avec S(s, t) une matrice qui tend vers une matrice
symétrique quand s → ±∞.
Suivant le modèle du chapitre 8 et plus précisément le plan dessiné
page 201, le théorème 11.1.7 sert à prouver la version à paramètre de la
proposition 8.1.3, qui est une conséquence immédiate de l’analogue suivant
de la proposition 8.1.4, via le théorème des fonctions implicites :
Proposition 11.1.8. Soit Γ = (H 0 , J 0 ) une homotopie entre (H
a , J
a ) et
(H
b , J
b ). Si u ∈ M
Γ (x, y), alors l’application
Φ : W
1,p (u
W ) × C
∞
ε (H 0 ) −→ L
p (u
W )
(Y, h) −→ (dF
Γ ) u (Y ) + grad u h
est surjective.
Démonstration. La dépendance en s des hamiltoniens de C
∞
ε (H 0 ) rend la
preuve de la surjectivité considérablement plus simple que celle de la proposition 8.1.4 : l’espace de départ est plus grand. Nous n’avons plus besoin
de la régularité (c’est-à-dire de 8.5.4) ni du § 8.6 qui explique cette notion.
Voici les détails.
On commence, comme au § 8.5, par démontrer de manière analogue
à 8.5.1, que, si Φ n’est pas surjective, alors il existe un champ non nul