11.1. LE MORPHISME Φ
Γ
351
Proposition 11.1.5. Il existe une constante A > 0 telle que
∀ u ∈ M
Γ , ∀ (s, t) ∈ R × S
1 ,
grad (s,t) u
≤ A.
Remarque. La démonstration, comme celle de 6.6.2, utilise le corollaire 11.1.3
(analogue de 6.5.11) et se fait par l’absurde. Si la conclusion était fausse,
on en déduirait l’existence d’une application v : R
2
→ W telle que
∂v
∂s
+ J(s)
∂v
∂t
= 0.
Ce n’est pas exactement une courbe holomorphe comme dans la démonstration de 6.6.2 puisque J dépend de s, mais la démonstration se fait de
manière analogue en utilisant les métriques
g s (·, ·) = ω(·, J(s)·).
En particulier, pour calculer l’aire de v(R
2 ) et la longueur de v(∂B(0, r k )),
comme dans la démonstration du lemme 6.6.5, on doit utiliser la métrique g
définie par
g v(s,t) (·, ·) = ω v(s,t) (·, J(s)·).
En utilisant le théorème 11.1.4, on achève la preuve du théorème 11.1.1
de la même façon que celle de 6.5.6. On a besoin pour le faire d’un résultat
analogue à celui du lemme 6.5.13 qui se démontre, de façon similaire, à l’aide
du lemme 11.1.12 ci-dessous.
11.1.b. La transversalité. Nous reprenons ici les résultats du chapitre 8
et les adaptons à l’équation de Floer à paramètre. La dépendance en s
va simplifier certaines des démonstrations, comme nous allons le voir : un
espace de départ plus grand va donner la surjectivité plus facilement. Soit
toujours Γ = (H, J) une homotopie qui joint (H
a , J
a ) et (H
b , J
b ). Nous
introduisons l’espace C
∞
ε des fonctions (perturbations)
h : R × S
1
× W −→ R
à support compact telles que h ε < +∞. Ici, comme h est à support
compact (en s), les trajectoires de Floer de l’homotopie perturbée sont les
mêmes que celles de l’homotopie non perturbée près des points critiques.
Nous démontrons une version paramétrée des théorèmes 8.1.1 et 8.1.2 :
Théorème 11.1.6. Il existe un voisinage de 0 dans C
∞
ε et une intersection
dénombrable d’ouverts denses de H reg dans ce voisinage tels que, si h ∈
H reg , alors, pour Γ(h) = (H + h, J), l’espace de trajectoires M
Γ(h) (x, y) est,
pour tout x ∈ Crit A H a et pour tout y ∈ Crit A H b , une variété de dimension
μ(x) − μ(y). De plus, pour tout u ∈ M
Γ (x, y), la différentielle
(dF
Γ ) u : W
1,p (u
T W ) −→ L
p (u
T W )
est surjective.
Γ
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Proposition 11.1.5. Il existe une constante A > 0 telle que
∀ u ∈ M
Γ , ∀ (s, t) ∈ R × S
1 ,
grad (s,t) u
≤ A.
Remarque. La démonstration, comme celle de 6.6.2, utilise le corollaire 11.1.3
(analogue de 6.5.11) et se fait par l’absurde. Si la conclusion était fausse,
on en déduirait l’existence d’une application v : R
2
→ W telle que
∂v
∂s
+ J(s)
∂v
∂t
= 0.
Ce n’est pas exactement une courbe holomorphe comme dans la démonstration de 6.6.2 puisque J dépend de s, mais la démonstration se fait de
manière analogue en utilisant les métriques
g s (·, ·) = ω(·, J(s)·).
En particulier, pour calculer l’aire de v(R
2 ) et la longueur de v(∂B(0, r k )),
comme dans la démonstration du lemme 6.6.5, on doit utiliser la métrique g
définie par
g v(s,t) (·, ·) = ω v(s,t) (·, J(s)·).
En utilisant le théorème 11.1.4, on achève la preuve du théorème 11.1.1
de la même façon que celle de 6.5.6. On a besoin pour le faire d’un résultat
analogue à celui du lemme 6.5.13 qui se démontre, de façon similaire, à l’aide
du lemme 11.1.12 ci-dessous.
11.1.b. La transversalité. Nous reprenons ici les résultats du chapitre 8
et les adaptons à l’équation de Floer à paramètre. La dépendance en s
va simplifier certaines des démonstrations, comme nous allons le voir : un
espace de départ plus grand va donner la surjectivité plus facilement. Soit
toujours Γ = (H, J) une homotopie qui joint (H
a , J
a ) et (H
b , J
b ). Nous
introduisons l’espace C
∞
ε des fonctions (perturbations)
h : R × S
1
× W −→ R
à support compact telles que h ε < +∞. Ici, comme h est à support
compact (en s), les trajectoires de Floer de l’homotopie perturbée sont les
mêmes que celles de l’homotopie non perturbée près des points critiques.
Nous démontrons une version paramétrée des théorèmes 8.1.1 et 8.1.2 :
Théorème 11.1.6. Il existe un voisinage de 0 dans C
∞
ε et une intersection
dénombrable d’ouverts denses de H reg dans ce voisinage tels que, si h ∈
H reg , alors, pour Γ(h) = (H + h, J), l’espace de trajectoires M
Γ(h) (x, y) est,
pour tout x ∈ Crit A H a et pour tout y ∈ Crit A H b , une variété de dimension
μ(x) − μ(y). De plus, pour tout u ∈ M
Γ (x, y), la différentielle
(dF
Γ ) u : W
1,p (u
T W ) −→ L
p (u
T W )
est surjective.