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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
et évaluons l’énergie de u à l’aide de ce prolongement :
E(u) = lim
σ→+∞
[−σ,σ]×S 1
u
ω − dH s,t
∂u
∂s
ds dt
= lim
σ→+∞
[−σ,σ]×S 1
u
ω +
[−σ,σ]×S 1
−
∂
∂s
H s,t (u) +
∂H
∂s
(u) ds dt
= lim
σ→+∞
D 2
u
σ ω −
D 2
u
−σ ω −
S 1
H
b
t (u σ ) dt +
S 1
H
a
t (u −σ ) dt
+
[−R,R]×S 1
∂H
∂s
(u) ds dt,
où
u ±σ (t) = u(±σ, t) pour t ∈ S
1
et
u ±σ (z) =
u(±σ, z) pour z ∈ D
2 .
On a utilisé le fait que l’homotopie H s,t est stationnaire pour |s| ≥ R. On
en déduit que
E(u) = lim
σ→+∞
(A H a (u −σ ) − A H b (u σ )) +
[−R,R]×S 1
∂H
∂s
(u) ds dt
= A H a (x) − A H b (y) +
[−R,R]×S 1
∂H
∂s
(u) ds dt
en utilisant l’hypothèse. Posons
k = sup
s∈[−R,R]
t∈S
1
z∈W
∂H
∂s
(s, t, z)
pour obtenir que
E(u) ≤ A H a (x) − A H b (y) + k
et achever la démonstration de la proposition.
De la finitude du nombre de points critiques de A H a et A H b suit un
corollaire (analogue au corollaire 6.5.11) :
Corollaire 11.1.3. Il existe un réel C > 0 tel que pour tout u ∈ M
Γ ,
E(u) ≤ C.
Ce résultat permet de démontrer une propriété de compacité, analogue
au théorème 6.5.4 :
Théorème 11.1.4. L’espace de trajectoires M
Γ est compact au sens de la
topologie C
∞
loc (R × S
1 , W ).
La démonstration est en tous points semblable à celle de 6.5.4, elle s’appuie sur la proposition (analogue à 6.6.2) :
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
et évaluons l’énergie de u à l’aide de ce prolongement :
E(u) = lim
σ→+∞
[−σ,σ]×S 1
u
ω − dH s,t
∂u
∂s
ds dt
= lim
σ→+∞
[−σ,σ]×S 1
u
ω +
[−σ,σ]×S 1
−
∂
∂s
H s,t (u) +
∂H
∂s
(u) ds dt
= lim
σ→+∞
D 2
u
σ ω −
D 2
u
−σ ω −
S 1
H
b
t (u σ ) dt +
S 1
H
a
t (u −σ ) dt
+
[−R,R]×S 1
∂H
∂s
(u) ds dt,
où
u ±σ (t) = u(±σ, t) pour t ∈ S
1
et
u ±σ (z) =
u(±σ, z) pour z ∈ D
2 .
On a utilisé le fait que l’homotopie H s,t est stationnaire pour |s| ≥ R. On
en déduit que
E(u) = lim
σ→+∞
(A H a (u −σ ) − A H b (u σ )) +
[−R,R]×S 1
∂H
∂s
(u) ds dt
= A H a (x) − A H b (y) +
[−R,R]×S 1
∂H
∂s
(u) ds dt
en utilisant l’hypothèse. Posons
k = sup
s∈[−R,R]
t∈S
1
z∈W
∂H
∂s
(s, t, z)
pour obtenir que
E(u) ≤ A H a (x) − A H b (y) + k
et achever la démonstration de la proposition.
De la finitude du nombre de points critiques de A H a et A H b suit un
corollaire (analogue au corollaire 6.5.11) :
Corollaire 11.1.3. Il existe un réel C > 0 tel que pour tout u ∈ M
Γ ,
E(u) ≤ C.
Ce résultat permet de démontrer une propriété de compacité, analogue
au théorème 6.5.4 :
Théorème 11.1.4. L’espace de trajectoires M
Γ est compact au sens de la
topologie C
∞
loc (R × S
1 , W ).
La démonstration est en tous points semblable à celle de 6.5.4, elle s’appuie sur la proposition (analogue à 6.6.2) :