11.1. LE MORPHISME Φ
Γ
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Définissons
M
Γ (x, y) =
u ∈ M
Γ
| lim
s→−∞
u(s) = x et lim
s→+∞
u(s) = y
.
Un élément de M
Γ (x, y) est donc une trajectoire qui part de x en suivant
une trajectoire du gradient de A H a pour s ≤ −R et arrive à y en suivant,
pour s ≥ R, une trajectoire du gradient de A H b . Toute solution d’énergie
finie joint donc deux points critiques respectivement de A H a et de A H b .
Pour s ≤ −R (resp. s ≥ R), notre équation coïncide avec l’équation de
Floer (sans paramètre) pour (H
a , J
a ) (resp. (H
b , J
b )). Ce qui fait que le
théorème 11.1.1 se démontre de manière similaire au théorème 6.5.6 : on
reproduit d’abord la démonstration de la proposition 6.5.7 pour montrer
que, pour tout u ∈ M
Γ , il existe deux points critiques x ∈ Crit(A H a ) et
y ∈ Crit(A H b ) tels que
lim
s→−∞
A H a (u(s)) = A H a (x) et
lim
s→+∞
A H b (u(s)) = A H b (y).
Ensuite, on démontre le résultat :
Proposition 11.1.2. Il existe une constante k telle que, pour tout u ∈ M
Γ vérifiant les conditions ci-dessus pour certains points critiques x ∈ Crit(A H a )
et y ∈ Crit(A H b ), on ait
E(u) ≤ A H a (x) − A H b (y) + k.
Démonstration. Nous avons
E(u) =
R×S 1
∂u
∂s
2
ds dt
=
R×S 1
∂u
∂s
,
∂u
∂s
ds dt
=
R×S 1
ω
∂u
∂s
, J s
∂u
∂s
ds dt
=
R×S 1
ω
∂u
∂s
,
∂u
∂t
− X t,s
ds dt
=
R×S 1
u
ω − dH t,s
∂u
∂s
ds dt.
Choisissons, comme la contractilité de x nous y autorise, un prolongement
de u, c’est-à-dire une application
u : R × D
2
−→ W telle que
u| ∂D 2 = u