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CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
(H
a , J
a ) à (H
b , J
b ) et (H
b , J
b ) à (H
c , J
c ), nous démontrons que les morphismes
Φ
Γ
◦ Φ
Γ
et Φ
Γ : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
c , J
c )
sont homotopes et en particulier induisent le même morphisme en homologie.
Comme au § 3.4, nous en déduirons l’invariance de l’homologie de Floer
en considérant le cas particulier où (H
a , J
a ) = (H
c , J
c ) et où Γ = Id. Il
est clair qu’alors Φ
Γ
et Φ
Γ
induisent des isomorphismes inverses l’un de
l’autre en homologie.
11.1. Le morphisme Φ
Γ
11.1.a. L’équation de Floer à paramètre. Posons Γ(s) = (H s,t , J s ) et
considérons l’équation
∂u
∂s
+ J s (u)
∂u
∂t
+ grad u H s,t = 0
qui peut s’écrire aussi
∂u
∂s
+ J s (u)
∂u
∂t
− X s,t (u)
= 0,
où X s,t est le dual symplectique de dH s,t . Si u est une solution, définissons
son énergie par
E(u) =
+∞
−∞
S 1
∂u
∂s
2
dt ds.
La norme utilisée ici est celle associée à la métrique ω(·, J s ·) — elle dépend
donc de s.
Considérons l’espace
M
Γ =
u : R × S
1
→ W | u est une solution contractile et E(u) < +∞
.
Rappelons que l’homotopie Γ a été définie comme stationnaire pour |s| ≥ R.
Ce qui permet de démontrer de façon (à peu près) analogue les versions à
paramètre des énoncés du chapitre 6 que voici.
D’abord une version à paramètre du théorème 6.5.6 :
Théorème 11.1.1. Soient X
a et X
b les duaux symplectiques des formes dH
a
et dH
b respectivement. Supposons que toutes les trajectoires 1-périodiques
de X
a et X
b sont non dégénérées. Alors, pour tout u ∈ M
Γ , il existe un
point critique x de A H a et un point critique y de A H b tels que
lim
s→−∞
u(s, ·) = x(·) et
lim
s→+∞
u(s, ·) = y(·).
CHAPITRE 11. HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
(H
a , J
a ) à (H
b , J
b ) et (H
b , J
b ) à (H
c , J
c ), nous démontrons que les morphismes
Φ
Γ
◦ Φ
Γ
et Φ
Γ : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
c , J
c )
sont homotopes et en particulier induisent le même morphisme en homologie.
Comme au § 3.4, nous en déduirons l’invariance de l’homologie de Floer
en considérant le cas particulier où (H
a , J
a ) = (H
c , J
c ) et où Γ = Id. Il
est clair qu’alors Φ
Γ
et Φ
Γ
induisent des isomorphismes inverses l’un de
l’autre en homologie.
11.1. Le morphisme Φ
Γ
11.1.a. L’équation de Floer à paramètre. Posons Γ(s) = (H s,t , J s ) et
considérons l’équation
∂u
∂s
+ J s (u)
∂u
∂t
+ grad u H s,t = 0
qui peut s’écrire aussi
∂u
∂s
+ J s (u)
∂u
∂t
− X s,t (u)
= 0,
où X s,t est le dual symplectique de dH s,t . Si u est une solution, définissons
son énergie par
E(u) =
+∞
−∞
S 1
∂u
∂s
2
dt ds.
La norme utilisée ici est celle associée à la métrique ω(·, J s ·) — elle dépend
donc de s.
Considérons l’espace
M
Γ =
u : R × S
1
→ W | u est une solution contractile et E(u) < +∞
.
Rappelons que l’homotopie Γ a été définie comme stationnaire pour |s| ≥ R.
Ce qui permet de démontrer de façon (à peu près) analogue les versions à
paramètre des énoncés du chapitre 6 que voici.
D’abord une version à paramètre du théorème 6.5.6 :
Théorème 11.1.1. Soient X
a et X
b les duaux symplectiques des formes dH
a
et dH
b respectivement. Supposons que toutes les trajectoires 1-périodiques
de X
a et X
b sont non dégénérées. Alors, pour tout u ∈ M
Γ , il existe un
point critique x de A H a et un point critique y de A H b tels que
lim
s→−∞
u(s, ·) = x(·) et
lim
s→+∞
u(s, ·) = y(·).