CHAPITRE 11
HOMOLOGIE DE FLOER : INVARIANCE
Nous venons de définir l’homologie de Floer HF (H, J) comme l’homologie du complexe CF (H, J). L’objectif de ce chapitre est de montrer que
l’homologie HF (H, J) ne dépend pas du couple régulier (au sens du § 8.1)
(H, J) ∈ (H × J) reg choisi.
Pour le démontrer, nous allons utiliser une méthode analogue à celle qui
nous a permis de démontrer l’invariance de l’homologie de Morse au § 3.4.
Nous procédons de la manière suivante : soient (H
a , J
a ) et (H
b , J
b ) deux
couples de (H × J) reg . Considérons une homotopie lisse Γ = (H, J) qui joint
(H
a , J
a ) à (H
b , J
b ), et plus précisément
H : R × S
1
× W −→ R et J : R −→ End(T W )
avec J(s) ∈ J pour tout s et
H(s, ·, ·) = H
a
si s ≤ −R
H(s, ·, ·) = H
b
si s ≥ R,
et
J(s) = J
a
si s ≤ −R
J(s) = J
b
si s ≥ R.
Ici R est une constante (qui ne sera pas forcément la même pour toutes
les homotopies). L’existence de telles homotopies découle du fait que J est
contractile (c’est la proposition 5.5.6).
La démonstration se fait en deux étapes :
(1) À partir d’une homotopie Γ, nous définissons un morphisme de complexes
Φ
Γ : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
b , J
b )
et nous vérifierons que, pour l’homotopie stationnaire Γ joignant (H
a , J
a )
à lui-même, ce morphisme Φ
Γ est l’identité.
(2) Si (H
a , J
a ), (H
b , J
b ) et (H
c , J
c ) sont des couples de (H×J) reg et si Γ,
Γ
et Γ
sont des homotopies joignant respectivement (H
a , J
a ) à (H
c , J
c ),