11.3. DÉMONSTRATION DE LA PROPOSITION 11.2.8
385
ce qui modulo 2 est bien l’égalité
S ◦ ∂ (H a ,J a ) + ∂ (H b ,J b ) ◦ S = Φ
Γ1
− Φ
Γ0 .
Nous avons démontré la proposition 11.2.8.
Il nous reste encore une démonstration, celle du théorème 11.3.11.
Démonstration du théorème 11.3.11.
(i) L’homotopie Γ est régulière, donc M
Γ est une variété de dimension 0.
La compacité de M
Γ (x, y) résulte du théorème 11.3.10.
Remarque 11.3.12. Sous les hypothèses du théorème 11.3.11, notons
(λ 1 , u 1 ), . . . (λ k , u k ) les éléments de M
Γ (x, y). Alors les homotopies Γ i correspondantes joignant (H
a , J
a ) à (H
b , J
b ) ne peuvent pas être régulières.
En effet, si Γ 1 par exemple était régulière, M
Γ1 (x, y) serait vide (puisque sa
dimension μ(x) − μ(y) = −1 serait négative). Cela serait en contradiction
avec le fait que u 1 ∈ M
Γ1 (x, y).
Revenons à la démonstration du théorème 11.3.11 et démontrons-en la
partie (ii). La compacité de M
Γ (x, y)∪Π
Γ (x, z) est elle aussi une conséquence
immédiate du théorème 11.3.10. Ensuite, comme Γ est régulière, M
Γ (x, z)
est une variété à bord de dimension 1 dont le bord est
{0} × M
Γ0 (x, z)
∪
{1} × M
Γ1 (x, z)
.
Pour finir cette démonstration, il reste à étudier la structure de M
Γ (x, z)∪
Π
Γ (x, z) près des points de la variété (compacte, de dimension 0) Π
Γ (x, z).
Nous le ferons au paragraphe suivant, par une méthode de type « recollement ». Avant cela, mettons en évidence un cas particulier où cette étude
est inutile parce que Π
Γ (x, z) est vide.
Remarque 11.3.13. Si l’homotopie d’homotopies Γ se fait à travers des homotopies Γ λ qui sont toutes régulières, alors M
Γ (x, z) est compact : c’est un
cobordisme compact entre M
Γ0 (x, z) et M
Γ1 (x, z) (voir la remarque 11.3.1
et les figures 4 et 5 ci-dessous). Par conséquent, les nombres d’éléments
de M
Γ0 (x, z) et de M
Γ1 (x, z) ont même parité et en particulier les deux
morphismes
Φ
Γ0 , Φ
Γ1 : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
b , J
b )
coïncident.
Cette remarque est une conséquence facile de la remarque 11.3.12. Si
toutes les homotopies Γ λ sont régulières, alors Π
Γ (x, z) est vide puisque
les espaces M
Γ (y
, z) et M
Γ (x, y) qui interviennent dans sa définition sont
vides. Donc le cobordisme M
Γ (x, z) est compact.
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ce qui modulo 2 est bien l’égalité
S ◦ ∂ (H a ,J a ) + ∂ (H b ,J b ) ◦ S = Φ
Γ1
− Φ
Γ0 .
Nous avons démontré la proposition 11.2.8.
Il nous reste encore une démonstration, celle du théorème 11.3.11.
Démonstration du théorème 11.3.11.
(i) L’homotopie Γ est régulière, donc M
Γ est une variété de dimension 0.
La compacité de M
Γ (x, y) résulte du théorème 11.3.10.
Remarque 11.3.12. Sous les hypothèses du théorème 11.3.11, notons
(λ 1 , u 1 ), . . . (λ k , u k ) les éléments de M
Γ (x, y). Alors les homotopies Γ i correspondantes joignant (H
a , J
a ) à (H
b , J
b ) ne peuvent pas être régulières.
En effet, si Γ 1 par exemple était régulière, M
Γ1 (x, y) serait vide (puisque sa
dimension μ(x) − μ(y) = −1 serait négative). Cela serait en contradiction
avec le fait que u 1 ∈ M
Γ1 (x, y).
Revenons à la démonstration du théorème 11.3.11 et démontrons-en la
partie (ii). La compacité de M
Γ (x, y)∪Π
Γ (x, z) est elle aussi une conséquence
immédiate du théorème 11.3.10. Ensuite, comme Γ est régulière, M
Γ (x, z)
est une variété à bord de dimension 1 dont le bord est
{0} × M
Γ0 (x, z)
∪
{1} × M
Γ1 (x, z)
.
Pour finir cette démonstration, il reste à étudier la structure de M
Γ (x, z)∪
Π
Γ (x, z) près des points de la variété (compacte, de dimension 0) Π
Γ (x, z).
Nous le ferons au paragraphe suivant, par une méthode de type « recollement ». Avant cela, mettons en évidence un cas particulier où cette étude
est inutile parce que Π
Γ (x, z) est vide.
Remarque 11.3.13. Si l’homotopie d’homotopies Γ se fait à travers des homotopies Γ λ qui sont toutes régulières, alors M
Γ (x, z) est compact : c’est un
cobordisme compact entre M
Γ0 (x, z) et M
Γ1 (x, z) (voir la remarque 11.3.1
et les figures 4 et 5 ci-dessous). Par conséquent, les nombres d’éléments
de M
Γ0 (x, z) et de M
Γ1 (x, z) ont même parité et en particulier les deux
morphismes
Φ
Γ0 , Φ
Γ1 : CF (H
a , J
a ) −→ CF (H
b , J
b )
coïncident.
Cette remarque est une conséquence facile de la remarque 11.3.12. Si
toutes les homotopies Γ λ sont régulières, alors Π
Γ (x, z) est vide puisque
les espaces M
Γ (y
, z) et M
Γ (x, y) qui interviennent dans sa définition sont
vides. Donc le cobordisme M
Γ (x, z) est compact.