10.4. LES TRAJECTOIRES DE MORSE ET DE FLOER COÏNCIDENT
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telle que
ϕ : [ρ 0 , +∞[ −→ L(x, y)
est un plongement. De surcroît, lorsque ρ tend vers +∞,
ϕ(ρ) tend vers
( v,
w) au sens de la convergence vers les orbites brisées en théorie de Morse
(celle définie au § 3.2.a). En particulier, cela signifie que
lim
ρ→+∞
ϕ(ρ)(s
+
ρ ) = v(s
+ )
où s ρ + et s
+ désignent les points où les trajectoires ϕ(ρ) et v (respectivement) sortent d’un voisinage de Morse (fixé) de x. Ceci implique que, pour
la topologie C
∞
loc ,
lim
ρ→+∞
ϕ(ρ)(s + s
+
ρ ) = v(s + s
+ )
(pour s’en convaincre, il suffit d’écrire
ϕ(ρ)(s + s
+
ρ ) = Φ s (ϕ(ρ)(s
+
ρ )) et v(s + s
+ ) = Φ s (v(s
+ ))
où Φ s est le flot de −JX H ).
Le même raisonnement s’applique à w. Ainsi nous obtenons le fait que
lim
ρ→+∞
ϕ(ρ) = ( v,
w)
au sens de la convergence vers les orbites brisées en théorie de Floer (celle
définie par le théorème 9.1.6).
Tous comptes faits, nous avons donc trois convergences vers ( v,
w) (voir
la figure 1) :
– celle, que nous avons supposée, de (v n k ) pour k tendant vers l’infini,
– celle de
ψ(ρ) pour ρ → +∞ donnée par le recollement « de Floer »,
– celle de
ϕ(ρ) pour ρ → +∞ donnée par le recollement « de Morse ».
ϕ(ρ)
( v,
w)
v n k
ψ(ρ)
Figure 1
Appliquons la partie « unicité » du théorème de recollement (théorème 9.2.3). Elle implique que, pour k assez grand, (v n k ) est dans l’image