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CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
Supposons maintenant que la différence d’indice est 2,
Ind(x) − Ind(y) = 2 = μ(x) − μ(y).
Dans ce cas, le théorème 9.1.6 affirme qu’une sous-suite de (v nk (s + s k , t))
tend, soit vers une limite v ∈ M(x, y, H), soit vers une trajectoire brisée
(v, w) ∈ M(x, z) × M(z, y).
Dans la première éventualité, on démontre comme ci-dessus que v est indépendant de t. Ici encore, (dF) v est surjective grâce à la proposition 10.1.7. On
obtient donc comme dans la démonstration du lemme 8.5.8 que M(x, y, H)
est une sous-variété de dimension 2 de Z(x, y, J) dans un voisinage de (v, H)
(on utilise ici la notation
Z(x, y, J) = {(v, H + h) | h ∈ C
∞
ε (H), v ∈ M(x, y, J, H + h)}
du chapitre 8). Par ailleurs, comme le gradient −JX H de H est de MorseSmale, ses trajectoires qui joignent x à y forment une variété de dimension 2.
Mais ces trajectoires sont aussi dans M(x, y, H), on obtient par suite un
paramétrage de cette sous-variété au voisinage de v, par des trajectoires qui
ne dépendent pas de t. Puis, comme v n k (s + s k , t) ∈ M(x, y, H), et comme
cette suite tend vers v, il suit que v nk (s + s k , t) est indépendant de t pour k
assez grand, une contradiction.
Reste le cas où lim v nk = (v, w), c’est-à-dire celui où existent des suites
(s
1
k ) et (s
2
k ) telles que
lim
k→+∞
v nk (s + s
1
k , t) = v(s, t) et
lim
k→+∞
v nk (s + s
2
k , t) = w(s, t).
On démontre comme ci-dessus que v et w ne dépendent pas de t. Par la
proposition 10.1.7, les deux opérateurs (dF) v et (dF) w sont surjectifs. On
peut alors appliquer le théorème de recollement (théorème 9.2.3). On en
déduit l’existence d’un plongement
ψ : [ρ 0 , +∞[ −→ L(x, y)
tel que
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) = ( v,
w) ∈ L(x, z) × L(z, y).
D’autre part, v et w sont aussi des trajectoires (de Morse) du champ de
Morse-Smale −JX H . Le théorème de recollement dans ce cadre (c’est-àdire le théorème 3.2.6) affirme alors que la trajectoire brisée ( u,
v) est un
point du bord d’une variété de dimension 1 formée de trajectoires de Morse
qui joignent x à y. Mais celles-ci sont aussi des trajectoires de Floer, de
sorte que nous avons une application
ϕ : [ρ 0 , +∞[ −→ M(x, y, H)
CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
Supposons maintenant que la différence d’indice est 2,
Ind(x) − Ind(y) = 2 = μ(x) − μ(y).
Dans ce cas, le théorème 9.1.6 affirme qu’une sous-suite de (v nk (s + s k , t))
tend, soit vers une limite v ∈ M(x, y, H), soit vers une trajectoire brisée
(v, w) ∈ M(x, z) × M(z, y).
Dans la première éventualité, on démontre comme ci-dessus que v est indépendant de t. Ici encore, (dF) v est surjective grâce à la proposition 10.1.7. On
obtient donc comme dans la démonstration du lemme 8.5.8 que M(x, y, H)
est une sous-variété de dimension 2 de Z(x, y, J) dans un voisinage de (v, H)
(on utilise ici la notation
Z(x, y, J) = {(v, H + h) | h ∈ C
∞
ε (H), v ∈ M(x, y, J, H + h)}
du chapitre 8). Par ailleurs, comme le gradient −JX H de H est de MorseSmale, ses trajectoires qui joignent x à y forment une variété de dimension 2.
Mais ces trajectoires sont aussi dans M(x, y, H), on obtient par suite un
paramétrage de cette sous-variété au voisinage de v, par des trajectoires qui
ne dépendent pas de t. Puis, comme v n k (s + s k , t) ∈ M(x, y, H), et comme
cette suite tend vers v, il suit que v nk (s + s k , t) est indépendant de t pour k
assez grand, une contradiction.
Reste le cas où lim v nk = (v, w), c’est-à-dire celui où existent des suites
(s
1
k ) et (s
2
k ) telles que
lim
k→+∞
v nk (s + s
1
k , t) = v(s, t) et
lim
k→+∞
v nk (s + s
2
k , t) = w(s, t).
On démontre comme ci-dessus que v et w ne dépendent pas de t. Par la
proposition 10.1.7, les deux opérateurs (dF) v et (dF) w sont surjectifs. On
peut alors appliquer le théorème de recollement (théorème 9.2.3). On en
déduit l’existence d’un plongement
ψ : [ρ 0 , +∞[ −→ L(x, y)
tel que
lim
ρ→+∞
ψ(ρ) = ( v,
w) ∈ L(x, z) × L(z, y).
D’autre part, v et w sont aussi des trajectoires (de Morse) du champ de
Morse-Smale −JX H . Le théorème de recollement dans ce cadre (c’est-àdire le théorème 3.2.6) affirme alors que la trajectoire brisée ( u,
v) est un
point du bord d’une variété de dimension 1 formée de trajectoires de Morse
qui joignent x à y. Mais celles-ci sont aussi des trajectoires de Floer, de
sorte que nous avons une application
ϕ : [ρ 0 , +∞[ −→ M(x, y, H)