10.4. LES TRAJECTOIRES DE MORSE ET DE FLOER COÏNCIDENT
343
10.4.b. Les trajectoires sont indépendantes de t. Montrons maintenant que les trajectoires de H = H/kk comptées pour le complexe de Floer
sont exactement celles comptées pour le complexe de Morse, c’est-à-dire la
proposition 10.1.9.
Démonstration de la proposition 10.1.9. Supposons que ce ne soit pas vrai.
C’est dire qu’il existe une suite (n k ) tendant vers l’infini et une solution u n k
(dépendant effectivement de t), dont on peut supposer qu’elle relie les points
critiques x et y, de l’équation de Floer
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
+
1
n k
grad H = 0.
Posons
v nk (s, t) = u nk (n k s, n k t).
C’est une solution de l’équation de Floer pour le hamiltonien originel H,
qui est périodique de période 1/n k et que l’on peut donc considérer comme
périodique de période 1, v n k ∈ M(x, y, H).
Considérons d’abord le cas où la différence d’indice vaut 1,
Ind(x) − Ind(y) = 1 = μ(x) − μ(y).
Grâce au théorème de convergence vers les trajectoires brisées (théorème 9.1.6), on peut supposer, quitte à extraire une sous-suite, que la suite
(v nk ) tend vers une limite v ∈ M(x, y, H). Si nous montrons que v ne
dépend pas de t, comme (dF) v est surjective (par la proposition 10.1.7), v
devra être dans une composante de dimension 1 de M(x, y, H), ou encore
un point isolé de L(x, y). Pour k assez grand, on aurait
v nk (s, t) = v(s + σ k , t) = v(s + σ k ),
et v n k ne dépendrait pas de t, en contradiction avec la supposition faite.
Il suffit donc de démontrer que la limite v ne dépend pas de t. On utilise
le fait que v est la limite d’une suite dont la période tend vers 0. Soit r ∈ R.
Fixons s ∈ R et t ∈ [0, 1]. Comme v nk est périodique de période 1/n k , on a
v n k (s, t) = v n k
s, t +
[rn k ]
n k
(dans cette écriture, [rn k ] désigne la partie entière de rn k ). Quand k tend
vers l’infini, [rn k ]/n k tend vers r, de sorte que le membre de gauche tend
vers v(s, t) et celui de droite vers v(s, t + r), donc, pour tout r,
v(s, t) = v(s, t + r)
ce que nous voulions démontrer.
343
10.4.b. Les trajectoires sont indépendantes de t. Montrons maintenant que les trajectoires de H = H/kk comptées pour le complexe de Floer
sont exactement celles comptées pour le complexe de Morse, c’est-à-dire la
proposition 10.1.9.
Démonstration de la proposition 10.1.9. Supposons que ce ne soit pas vrai.
C’est dire qu’il existe une suite (n k ) tendant vers l’infini et une solution u n k
(dépendant effectivement de t), dont on peut supposer qu’elle relie les points
critiques x et y, de l’équation de Floer
∂u
∂s
+ J
∂u
∂t
+
1
n k
grad H = 0.
Posons
v nk (s, t) = u nk (n k s, n k t).
C’est une solution de l’équation de Floer pour le hamiltonien originel H,
qui est périodique de période 1/n k et que l’on peut donc considérer comme
périodique de période 1, v n k ∈ M(x, y, H).
Considérons d’abord le cas où la différence d’indice vaut 1,
Ind(x) − Ind(y) = 1 = μ(x) − μ(y).
Grâce au théorème de convergence vers les trajectoires brisées (théorème 9.1.6), on peut supposer, quitte à extraire une sous-suite, que la suite
(v nk ) tend vers une limite v ∈ M(x, y, H). Si nous montrons que v ne
dépend pas de t, comme (dF) v est surjective (par la proposition 10.1.7), v
devra être dans une composante de dimension 1 de M(x, y, H), ou encore
un point isolé de L(x, y). Pour k assez grand, on aurait
v nk (s, t) = v(s + σ k , t) = v(s + σ k ),
et v n k ne dépendrait pas de t, en contradiction avec la supposition faite.
Il suffit donc de démontrer que la limite v ne dépend pas de t. On utilise
le fait que v est la limite d’une suite dont la période tend vers 0. Soit r ∈ R.
Fixons s ∈ R et t ∈ [0, 1]. Comme v nk est périodique de période 1/n k , on a
v n k (s, t) = v n k
s, t +
[rn k ]
n k
(dans cette écriture, [rn k ] désigne la partie entière de rn k ). Quand k tend
vers l’infini, [rn k ]/n k tend vers r, de sorte que le membre de gauche tend
vers v(s, t) et celui de droite vers v(s, t + r), donc, pour tout r,
v(s, t) = v(s, t + r)
ce que nous voulions démontrer.