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CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
Lemme 10.4.1. Soit f une application dérivable sur [0, 1], de moyenne nulle
sur cet intervalle. Alors on a, pour tout p,
1
0
f (t)
p dt ≤
1
0
f
(t)
p dt.
On l’applique à f (t) = Y (s, t) et à p = 2. On intègre par rapport à s :
+∞
−∞
1
0
Y (s, t)
2 dt ds ≤
+∞
−∞
1
0
∂Y
∂t
(s, t)
2
dt ds.
Ensuite, en norme L
2 , on a
∂Y
∂s
2
L 2
+
∂Y
∂t
2
L 2
=
∂Y
∂s
,
∂Y
∂s
+
∂Y
∂t
,
∂Y
∂t
= −−Y, ΔY
= −
Y,
∂
∂s
− J
∂
∂t
∂
∂s
+ J
∂
∂t
Y
=
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
2
L 2
= S(s)Y
2
L 2
≤ sup
s
S(s)
2 Y
2
L 2
(c’est la norme opératorielle de S(s) qui apparaît dans cette formule). Donc,
grâce à notre lemme, on trouve
Y
2
L 2 ≤ ≤grad Y
2
L 2 ≤ sup
s
S(s)
2 Y
2
L 2 .
Le fait que H soit « C
2 -petite » implique que sup s S(s) est assez petite et
donc que Y = 0.
Démonstration du lemme 10.4.1. On écrit, pour t, t 1 ∈ [0, 1],
f (t 1 ) − f (t) =
t1
t
f
(τ ) dτ,
relation que l’on intègre par rapport à t entre 0 et 1,
f (t 1 ) =
1
0
t1
t
f
(τ ) dτ
dt,
d’où l’on déduit
1
0
f (t 1 )
p dt 1 ≤
1
0
1
0
t1
t
f
(τ )
p dτ dt
dt 1 ≤
1
0
f
(τ )
p dτ,
ce que nous voulions démontrer.