10.4. LES TRAJECTOIRES DE MORSE ET DE FLOER COÏNCIDENT
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Démonstration. Si L u : W
1,2 (R; R
2n
→ L
2 (R; R
2n ) n’est pas surjectif, il
existe Z ∈ L
2 (R; R
2n ) orthogonal à l’image de L u . Par ailleurs, l’hypothèse
affirme que (dπ) (u,J) est surjectif. La démonstration de la proposition 10.3.2
donne une description de l’espace tangent T (u,J) Z 0 (x, y), comme le noyau
de Γ, c’est-à-dire
T (u,J) Z 0 (x, y)
=
(Y, S) ∈ W
1,2 (R; R
2n ) × T J J 0 (δ) | L u (Y ) − S(X H ) u = 0
.
Puisque L u Y, Z = 0 pour tout Y ∈ W
1,2 (R; R
2n ), la surjectivité de
(dπ) (u,J) implique que
pour tout S ∈ T J J 0 (δ), S(X H ) u , Z = 0.
Nous avons vu, dans la démonstration du lemme 10.3.4, que cela implique
que Z = 0, ce qui, à la fois contredit la supposition faite et démontre le
lemme.
En prenant l’intersection des différents ensembles J r´ eg obtenus pour les
différents couples de points critiques de H, on obtient l’ensemble J r´ eg (H) annoncé dans l’énoncé du théorème 10.1.2 (on utilise aussi le théorème 10.1.5)
10.4. Les trajectoires de Morse et de Floer coïncident
10.4.a. Les trajectoires indépendantes de t sont régulières. Nous
montrons ici la proposition 10.1.7 (et le corollaire 10.1.8). On a clairement
Ker L u ⊂ Ker(dF) u : si Y (s) vérifie
dY
ds
+ S(s)Y = 0,
alors il vérifie aussi
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
+ S(s)Y = 0.
Montrons l’inclusion inverse. Soit Y ∈ Ker L. Notons L = (dF) u et L 0 = L u .
Nous avons
1
0
J
∂Y
∂t
dt = 0, donc
1
0
Y (s, t)dt ∈ Ker L 0 .
On peut ainsi supposer que
1
0
Y (s, t)dt = 0. On utilise un lemme élémentaire de fonctions de variable réelle (dont la démonstration est donnée plus
bas).
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Démonstration. Si L u : W
1,2 (R; R
2n
→ L
2 (R; R
2n ) n’est pas surjectif, il
existe Z ∈ L
2 (R; R
2n ) orthogonal à l’image de L u . Par ailleurs, l’hypothèse
affirme que (dπ) (u,J) est surjectif. La démonstration de la proposition 10.3.2
donne une description de l’espace tangent T (u,J) Z 0 (x, y), comme le noyau
de Γ, c’est-à-dire
T (u,J) Z 0 (x, y)
=
(Y, S) ∈ W
1,2 (R; R
2n ) × T J J 0 (δ) | L u (Y ) − S(X H ) u = 0
.
Puisque L u Y, Z = 0 pour tout Y ∈ W
1,2 (R; R
2n ), la surjectivité de
(dπ) (u,J) implique que
pour tout S ∈ T J J 0 (δ), S(X H ) u , Z = 0.
Nous avons vu, dans la démonstration du lemme 10.3.4, que cela implique
que Z = 0, ce qui, à la fois contredit la supposition faite et démontre le
lemme.
En prenant l’intersection des différents ensembles J r´ eg obtenus pour les
différents couples de points critiques de H, on obtient l’ensemble J r´ eg (H) annoncé dans l’énoncé du théorème 10.1.2 (on utilise aussi le théorème 10.1.5)
10.4. Les trajectoires de Morse et de Floer coïncident
10.4.a. Les trajectoires indépendantes de t sont régulières. Nous
montrons ici la proposition 10.1.7 (et le corollaire 10.1.8). On a clairement
Ker L u ⊂ Ker(dF) u : si Y (s) vérifie
dY
ds
+ S(s)Y = 0,
alors il vérifie aussi
∂Y
∂s
+ J
∂Y
∂t
+ S(s)Y = 0.
Montrons l’inclusion inverse. Soit Y ∈ Ker L. Notons L = (dF) u et L 0 = L u .
Nous avons
1
0
J
∂Y
∂t
dt = 0, donc
1
0
Y (s, t)dt ∈ Ker L 0 .
On peut ainsi supposer que
1
0
Y (s, t)dt = 0. On utilise un lemme élémentaire de fonctions de variable réelle (dont la démonstration est donnée plus
bas).