340
CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
puisque S est symétrique. Nous voulons montrer que Z est nul. Supposons
donc que ce ne soit pas le cas et choisissons un s 0 tel que Z(s 0 ) = 0. Utilisons
une trivialisation unitaire au voisinage de x 0 = u(s 0 ) ∈ W dans laquelle J 0
est standard. Alors, S est simplement une matrice symétrique (dépendant
du point considéré) telle que S = J 0 SJ 0 . Considérons le vecteur J 0 du/ds(s 0 )
est construisons une matrice S 0 telle que
Z(s 0 ), S 0 J 0
du
ds
(s 0 )
= 0.
C’est un lemme facile d’algèbre linéaire :
Lemme 10.3.5. Soient U et V deux vecteurs non nuls de C
n = R
2n . Il
existe une matrice symétrique réelle S, anti-C-linéaire et telle que le produit
scalaire euclidien U, SV soit non nul.
Ce lemme acquis, il existe une application C
∞
ε , à support au voisinage
de x 0 et qui prend la valeur S 0 en x 0 . Ce qui donne la contradiction voulue.
Dans un souci de complétude, donnons une démonstration du lemme
10.3.5. Le sous-espace vectoriel complexe engendré par les deux vecteurs U
et V est (au plus) de dimension 2, il suffit donc de démontrer ce lemme dans
C
2 . Comme U n’est pas nul, on peut donc supposer que c’est le premier
vecteur d’une base, dans laquelle tout ce qui suit est écrit. La matrice S
doit avoir la forme
S =
A B
−B A
, où A est symétrique et B antisymétrique.
Il n’y a donc aucune contrainte sur la première colonne de S, que nous
pouvons choisir égale au vecteur V . Mais alors, S(U ) = V et
U, SV = SU, V = V, V = V
2 = 0,
ce que nous voulions démontrer.
Pour finir la démonstration du théorème 10.1.2, considérons la projection
π : Z 0 (x, y) −→ J 0 (δ)
définie par π(u, J) = J. Le théorème de Sard-Smale (ici théorème 8.5.6)
affirme l’existence d’un sous-ensemble ouvert dense J r´ eg ⊂ J 0 (δ) formé de
valeurs régulières de π. Nous démontrons :
Lemme 10.3.6. Si J ∈ J r´ eg , pour toute trajectoire u du champ −JX H joignant x à y, l’opérateur linéarisé L u est surjectif.
CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
puisque S est symétrique. Nous voulons montrer que Z est nul. Supposons
donc que ce ne soit pas le cas et choisissons un s 0 tel que Z(s 0 ) = 0. Utilisons
une trivialisation unitaire au voisinage de x 0 = u(s 0 ) ∈ W dans laquelle J 0
est standard. Alors, S est simplement une matrice symétrique (dépendant
du point considéré) telle que S = J 0 SJ 0 . Considérons le vecteur J 0 du/ds(s 0 )
est construisons une matrice S 0 telle que
Z(s 0 ), S 0 J 0
du
ds
(s 0 )
= 0.
C’est un lemme facile d’algèbre linéaire :
Lemme 10.3.5. Soient U et V deux vecteurs non nuls de C
n = R
2n . Il
existe une matrice symétrique réelle S, anti-C-linéaire et telle que le produit
scalaire euclidien U, SV soit non nul.
Ce lemme acquis, il existe une application C
∞
ε , à support au voisinage
de x 0 et qui prend la valeur S 0 en x 0 . Ce qui donne la contradiction voulue.
Dans un souci de complétude, donnons une démonstration du lemme
10.3.5. Le sous-espace vectoriel complexe engendré par les deux vecteurs U
et V est (au plus) de dimension 2, il suffit donc de démontrer ce lemme dans
C
2 . Comme U n’est pas nul, on peut donc supposer que c’est le premier
vecteur d’une base, dans laquelle tout ce qui suit est écrit. La matrice S
doit avoir la forme
S =
A B
−B A
, où A est symétrique et B antisymétrique.
Il n’y a donc aucune contrainte sur la première colonne de S, que nous
pouvons choisir égale au vecteur V . Mais alors, S(U ) = V et
U, SV = SU, V = V, V = V
2 = 0,
ce que nous voulions démontrer.
Pour finir la démonstration du théorème 10.1.2, considérons la projection
π : Z 0 (x, y) −→ J 0 (δ)
définie par π(u, J) = J. Le théorème de Sard-Smale (ici théorème 8.5.6)
affirme l’existence d’un sous-ensemble ouvert dense J r´ eg ⊂ J 0 (δ) formé de
valeurs régulières de π. Nous démontrons :
Lemme 10.3.6. Si J ∈ J r´ eg , pour toute trajectoire u du champ −JX H joignant x à y, l’opérateur linéarisé L u est surjectif.