10.3. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE RÉGULARITÉ
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Nous avons déjà linéarisé G à métrique constante (donc à J constant
au § 10.2.a) et F (avec la variable t supplémentaire) au § 8.4. Le même
calcul donne, en composant avec la projection sur la fibre :
Γ = π ◦ (dG) (u,J0) (Y, S) =
dY
ds
− J 0 [(X H ) u , Y ]
− S(X H ) u
= L u (Y ) − S(X H ) u ,
où L u : W
1,2 (R; R
2n ) → L
2 (R; R
2n ) est l’opérateur défini au § 10.2.a.
Nous avons dit que L u est un opérateur de Fredholm (parce que H est une
fonction de Morse), donc son image est fermée et de codimension finie. Le
même raisonnement que dans la démonstration du lemme 8.5.1 donne le
fait que l’image de Γ est un sous-espace fermé de codimension finie. Pour
montrer la surjectivité de Γ en les points de Z 0 , il suffit de montrer, ce que
nous faisons ici (le dual de L
2 est L
2 lui-même) :
Lemme 10.3.4. L’orthogonal de l’image de Γ dans L
2 (R; R
2n ) est réduit à 0.
Démonstration. Soit Z un élément de l’orthogonal, c’est-à-dire tel que l’on
ait, pour tous Y et S,
+∞
−∞
Z(s), Γ(Y, S) ds = 0,
ou encore
+∞
−∞
Z(s),
dY
ds
− J 0 [X H , Y ]
ds −
+∞
−∞
Z(s), S(X H ) ds = 0
pour tous Y et S, soit
+∞
−∞
Z(s),
dY
ds
− J 0 [X H , Y ]
ds = 0 pour tout champ Y le long de u
et
+∞
−∞
Z(s), S(X H ) ds = 0 pour toute section S.
La première de ces égalités, Z, L u (Y ) = 0, revient à L
u Z, Y = 0 pour
tout Y , soit L
u Z = 0, une équation différentielle de la forme
−
dZ
ds
+ B(s)Z = 0,
ce qui garantit que la solution Z, supposée au départ seulement dans L
2 , est
dans W
1,2 et donc C
∞ . Nous allons ainsi pouvoir raisonner avec les valeurs
que prend Z.
La deuxième égalité est
Z, S(X H ) =
Z, −SJ
du
ds
= −
SZ, J
du
ds