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CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
Proposition 10.3.2. Pour une suite ε bien choisie, l’espace C
∞
ε (J) des sections
de End(T W ) telles que
JS + SJ = 0
ω(Sξ, η) + ω(ξ, Sη) = 0
et S ε < +∞
est un espace de Banach séparable et dense dans l’espace des sections L
2 du
fibré T J c (ω).
Fixons donc une structure presque complexe J 0 ∈ J c (ω) et un nombre
réel δ > 0. Définissons l’image de la boule unité
J 0 (δ) = {J 0 exp(−J 0 S) | S ∈ C
∞
ε (J 0 ) et S ε < δ}
et
Z 0 (x, y) = {(u, J) ∈ Z(x, y) | J ∈ J 0 (δ)}
(cet espace dépend du choix du rayon δ, que nous n’avons pas fait figurer
dans la notation dans un souci de légèreté).
Proposition 10.3.3. Le sous-espace Z 0 (x, y) est une variété de Banach.
Le reste de cette section est consacré à la démonstration de cette proposition. Nous allons, comme au § 8.5, exhiber Z 0 comme ensemble des
zéros d’une section d’un fibré vectoriel. L’analyse est plus facile ici car nous
n’avons qu’une seule variable et pouvons rester dans L
2 et W
1,2 . Considérons donc
P
1,2 (x, y) =
u ∈ W
1,2 (R; W ) | lim
s→−∞
u(s) = x et lim
s→+∞
u(s) = y
(la limite a un sens puisque les éléments de W
1,2 sont des applications
continues) et
E =
(u, J, Y ) | u ∈ P
1,2 (x, y),
J ∈ J 0 (δ), Y est un champ de vecteurs L
2 le long de u
,
fibré sur P
1,2 (x, y) × J 0 (δ) dont la fibre en (u, J) est l’espace des champs de
vecteurs L
2 le long de u. Grâce à une trivialisation Z i de T W (comme celle
que nous avons fixée au chapitre 8), cet espace n’est autre que L
2 (R; R
2n ).
L’application
G : P
1,2 (x, y) × J 0 (δ) −→ E
(u, J) −→
u,
du
ds
+ grad u H
=
u,
du
ds
− JX H
est une section de E qui s’annule le long de Z 0 (x, y). Montrons donc qu’elle
est transverse à la section nulle. Nous devons en calculer la différentielle
(dG) (u,J0) : W
1,2 (R; R
2n ) × J 0 (δ) −→ L
2 (R; R
2n ).