10.3. DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE RÉGULARITÉ
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10.3.a. Variations infinitésimales de la structure presque complexe
L’espace J c (ω) des structures presque complexes calibrées par ω est une
partie de l’espace vectoriel des sections du fibré des endomorphismes de T W .
Nous avons déjà remarqué (c’est la proposition 5.5.7) que l’espace tangent
T J J c (ω) = {S ∈ End(T W ) | JS + SJ = 0 et ω(Sξ, η) + ω(ξ, Sη) = 0} .
Fixons un tel S et posons J t = J exp(−tJS).
Lemme 10.3.1. Pour t assez petit, l’endomorphisme J t est une structure
presque complexe calibrée par ω.
Démonstration. D’abord, J t est bien une structure presque complexe :
comme J « anti-commute » avec S, J t = exp(tJS)J et donc
J
2
t = exp(tJS)JJ exp(−tJS) = J
2 = − Id .
Ensuite, J t est une isométrie de ω, puisque
d
dt
ω(J t ξ, J t η) =
d
dt
ω(exp(−tJS)ξ, exp(−tJS)η)
= ω(−JS exp(−tJS)ξ, exp(−tJS)η)
+ ω(exp(−tJS)ξ, −JS exp(−tJS)η)
= ω(SJ exp(−tJS)ξ, exp(−tJS)η)
+ ω(exp(−tJS)ξ, SJ exp(−tJS)η)
= ω(SJΞ, H) + ω(Ξ, SJH) = 0
(où l’on a posé Ξ = exp(−tJS)ξ et H = exp(−tJS)η) donc ω(J t ξ, J t η) est
constant égal à ω(Jξ, Jη) = ω(ξ, η). Ce calcul donne aussi
ω(J t ξ, η) = ω(J
2
t ξ, J t η) = −ω(ξ, J t η) = ω(J t η, ξ)
de sorte que ω(·, J t ·) est une forme bilinéaire symétrique. Ensuite, on a
ω(ξ, J t η) = ω(ξ, Jη) + O(t)
de sorte que ω(·, J t ·) est bien une métrique riemannienne, au moins pour t
assez petit.
10.3.b. Démonstration du théorème 10.1.2. Comme au § 8.3, nous
utilisons ici la norme C
∞
ε sur cet espace de perturbations de J,
S ε =
∞
k=0
ε k S C k
(pour une suite ε = (ε k ) assez décroissante). On a, comme au § 8.3 :