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CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
Ce calcul montre aussi que, si Z(s) est une solution de L
u Z = 0,
on a lim s→−∞ Z(s) = 0 si et seulement si Z(σ) ⊥ E
u (σ) et de même
lim s→+∞ Z(s) = 0 si et seulement si Z(σ) ⊥ E
s (σ). On a donc montré que
Ker L
u = (T u(σ) W
u (x) + T u(σ) W
s (y))
⊥ .
Avec dim T u(σ) W
u (x) = Ind(x), dim T u(σ) W
s (y) = n−Ind(y), on obtient
dim Ker L u = dim T u(σ) W
u (x) ∩ T u(σ) W
s (y)
= dim W
u (x) + dim W
s (y) − dim(T u(σ) W
u (x) + T u(σ) W
s (y)),
dim Ker L
u = dim(T u(σ) W
u (x) + T u(σ) W
s (y))
⊥
= n − dim(T u(σ) W
u (x) + T u(σ) W
s (y)),
Ind(L u ) = dim W
u (x) + dim W
s (y) − n
= Ind(x) + n − Ind(y) − n
= Ind(x) − Ind(y),
ce que nous voulions démontrer.
On trouvera une autre façon de calculer l’indice de cet opérateur dans
l’exercice 46.
10.2.e. La condition de Smale. Nous démontrons ici que le champ de
vecteurs X vérifie la condition de Smale si et seulement si tous les L u sont
surjectifs, c’est-à-dire le théorème 10.1.5.
Remarque 10.2.9. Si X est le gradient de f pour une métrique g, cette condition porte bien sûr sur ladite métrique.
Démonstration. C’est une conséquence du calcul ci-dessus. Dire que L u est
surjectif, c’est dire que son conoyau est réduit à 0, c’est-à-dire que L
u soit
injectif, c’est-à-dire encore que
T u(σ) W
u (x) + T u(σ) W
s (y) = T u(σ) V,
la condition de transversalité des variétés stables et instables, que nous
voulons ici pour tous les points critiques x et y.
On aurait pu faire la théorie du complexe de Morse en ces termes
(voir [59, 62]).
10.3. Démonstration du théorème (de régularité) 10.1.2
Ici H est fixé et nous considérons deux points critiques x et y. Définissons
Z(x, y, H) comme
{(u, J) | J ∈ J c (ω) et u est une trajectoire de − JX H joignant x à y} .