10.2. LINÉARISATION D’UN PSEUDO-GRADIENT
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comme la résolvante de l’équation différentielle linéaire, c’est-à-dire l’application qui, au vecteur
Y ∈ T u(σ) V , associe la valeur en s de l’unique solution
qui vaut
Y en σ. Définissons
E
u (σ) =
Y ∈ T u(σ) V | lim
s→−∞
Φ (σ,s)
Y = 0
et de même
E
s (σ) =
Y ∈ T u(σ) V | lim
s→+∞
Φ (σ,s)
Y = 0
.
Ces espaces sont les espaces tangents en u(σ) aux variétés instables et stables
(respectivement) de x et y,
E
u (σ) = T u(σ) W
u (x) et E
s (σ) = T u(σ) W
s (y).
Si
Y ∈ E
u (σ)∩E
s (σ), la solution Y (s) qui vaut
Y en σ est dans W
1,2 (R; R
n )
et réciproquement, de sorte que
∀ σ ∈ R, Ker L u ∼ = E
u (σ) ∩ E
s (σ).
On a ainsi
Ker L u ∼ = T u(σ) W
u (x) ∩ T u(σ) W
s (y).
Reste à déterminer le noyau de L
u . Définissons
Ψ (σ,s) = Φ
(s,σ) : T u(σ) V −→ T u(s) V.
Montrons que cette application est la résolvante de L
u . Choisissons Z 0 ∈ R
n
et définissons Z 0 (s) = Ψ (σ,s) Z 0 . Remarquons que, puisque Ψ (σ,σ) = Id, on a
Z 0 (σ) = Z 0 . Choisissons aussi Y 0 ∈ R
n . Par définition de Ψ (σ,s) ,
Ψ (σ,s) Z 0 , Φ (σ,s) Y 0 = Z 0 , Y 0 .
Dérivons cette identité par rapport à s, obtenant :
0 =
dZ 0
ds
, Φ (σ,s) Y 0
+
Ψ (σ,s) Z 0 ,
dY 0
ds
.
Utilisons le fait que le champ de vecteurs Y 0 (s) = Φ (σ,s) Y 0 est solution de
L u Y 0 = 0, et donc que Y 0 (s)/ds = −AY 0 (s), ce qui transforme notre égalité
en
dZ 0
ds
, Y 0 (s)
−
Z 0 (s), AY 0 (s)
= 0,
soit en
dZ 0
ds
− A
Z 0 (s), Y 0 (s)
= 0.
Comme on pouvait choisir pour Y 0 n’importe quel vecteur tangent, on a
bien montré que Z 0 (σ) = Z 0 et L
u Z 0 = 0, soit que Ψ (σ,s) est la résolvante
de L
u .