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CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
Nous savons maintenant (grâce à la proposition 8.7.4) que L u a un noyau
de dimension finie et une image fermée. Afin de terminer de démontrer
que L u est opérateur de Fredholm, déterminons son conoyau.
Lemme 10.2.6. Le conoyau de u est le noyau de l’opérateur
L
u : W
1,2 (R; R
n ) −→ L
2 (R; R
n )
défini par
L
u Z = −
dZ
ds
+ A
Z
(où A
est la transposée de A).
Démonstration. Le conoyau de L u est
Z ∈ L
2 (R; R
n ) |
+∞
−∞
L u Y, Z ds = 0 pour tout Y ∈ W
1,2 (R; R
n )
.
Soit L
u l’opérateur défini dans l’énoncé du lemme. On a
+∞
−∞
L u (Y ), Z ds =
+∞
−∞
dY
ds
, Z
ds +
+∞
−∞
AY, Z ds
= −
+∞
−∞
dZ
ds
, Y
ds +
+∞
−∞
A
Z, Y ds.
Si Z ∈ Coker L u , on a L
u Z = 0 au sens des distributions, donc, à cause de la
définition de L
u , dZ/ds est dans L
2 et donc Z ∈ W
1,2 et donc Z ∈ Ker L
u .
Donc Coker L u = Ker L
u (l’inclusion inverse est claire).
Le noyau de L
u est de dimension finie comme celui de L u en vertu du
même théorème sur les équations différentielles linéaires. Il en est donc de
même du conoyau de L u . Ceci termine la démonstration du fait que L u
est un opérateur de Fredholm lorsque L u joint deux points critiques non
dégénérés, c’est-à-dire de la proposition 10.2.2.
Corollaire 10.2.7. Si f est une fonction de Morse, pour toute trajectoire u,
l’opérateur L u est un opérateur de Fredholm.
10.2.d. Le calcul de l’indice. Calculons maintenant l’indice de cet opérateur.
Proposition 10.2.8. L’indice de l’opérateur de Fredholm L u est Ind(x) −
Ind(y).
Démonstration. Nous avons déjà remarqué que les solutions de L u Y = 0
qui sont dans W
1,2 tendent vers 0 exponentiellement quand s → ±∞. Si σ
et s sont deux réels, définissons
Φ (σ,s) : T u(σ) V −→ T u(s) V
CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
Nous savons maintenant (grâce à la proposition 8.7.4) que L u a un noyau
de dimension finie et une image fermée. Afin de terminer de démontrer
que L u est opérateur de Fredholm, déterminons son conoyau.
Lemme 10.2.6. Le conoyau de u est le noyau de l’opérateur
L
u : W
1,2 (R; R
n ) −→ L
2 (R; R
n )
défini par
L
u Z = −
dZ
ds
+ A
Z
(où A
est la transposée de A).
Démonstration. Le conoyau de L u est
Z ∈ L
2 (R; R
n ) |
+∞
−∞
L u Y, Z ds = 0 pour tout Y ∈ W
1,2 (R; R
n )
.
Soit L
u l’opérateur défini dans l’énoncé du lemme. On a
+∞
−∞
L u (Y ), Z ds =
+∞
−∞
dY
ds
, Z
ds +
+∞
−∞
AY, Z ds
= −
+∞
−∞
dZ
ds
, Y
ds +
+∞
−∞
A
Z, Y ds.
Si Z ∈ Coker L u , on a L
u Z = 0 au sens des distributions, donc, à cause de la
définition de L
u , dZ/ds est dans L
2 et donc Z ∈ W
1,2 et donc Z ∈ Ker L
u .
Donc Coker L u = Ker L
u (l’inclusion inverse est claire).
Le noyau de L
u est de dimension finie comme celui de L u en vertu du
même théorème sur les équations différentielles linéaires. Il en est donc de
même du conoyau de L u . Ceci termine la démonstration du fait que L u
est un opérateur de Fredholm lorsque L u joint deux points critiques non
dégénérés, c’est-à-dire de la proposition 10.2.2.
Corollaire 10.2.7. Si f est une fonction de Morse, pour toute trajectoire u,
l’opérateur L u est un opérateur de Fredholm.
10.2.d. Le calcul de l’indice. Calculons maintenant l’indice de cet opérateur.
Proposition 10.2.8. L’indice de l’opérateur de Fredholm L u est Ind(x) −
Ind(y).
Démonstration. Nous avons déjà remarqué que les solutions de L u Y = 0
qui sont dans W
1,2 tendent vers 0 exponentiellement quand s → ±∞. Si σ
et s sont deux réels, définissons
Φ (σ,s) : T u(σ) V −→ T u(s) V