10.2. LINÉARISATION D’UN PSEUDO-GRADIENT
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et
dY
ds
+ BY
2
L 2
=
+∞
−∞
dY
ds
+ BY
2
ds
sous l’hypothèse que la matrice B est inversible. Nous utilisons la transformation de Fourier
Y (v) =
1
√
2π
+∞
−∞
e
−ivs Y (s) ds.
Soit Z =
dY
ds
+ BY , de sorte que, pour tout u ∈ R,
Z(v) = (v Id +B)
Y (v).
La matrice B est réelle. Choisissons un v imaginaire pur (v = iu avec u ∈ R),
de sorte que
v Id +B
2 = u
2 + B
2 .
Utilisons maintenant l’hypothèse que B est inversible : il existe une
constante C 0 > 0 telle que
Z(iu)
2 = iu Id +B
2
Y (iu)
2
≥ (u
2 + C
2
0 )
Y (iu)
2 .
Soit C 1 = max(1, 1/C
2
0 ), de sorte que 1 + u
2
≤ C 1 (C
2
0 + u
2 ) pour tout u,
ce qui donne
(1 + u
2 )
Y (iu)
2
≤ C 1 (C
2
0 + u
2 )
Y (iu)
2
≤ C 1
Z(iu)
2 ,
et, en intégrant sur R, l’inégalité espérée.
Démonstration du lemme 10.2.5. Minorons l’intégrale
M
−M
L u Y
2 ds.
Développer u + 2v
2 ≥ 0 donne l’inégalité
u + v
2 ≥
1
2
u
2 − −v
2 ,
et ici la minoration
M
−M
L u Y
2 ds =
M
−M
dY
ds
+ AY
2
ds ≥
M
−M
1
2
dY
ds
2 − −AY
2
ds
≥
1
2
M
−M
dY
ds
2
ds − C
M
−M
Y
2 ds,
et finalement
1
2
M
−M
dY
ds
2
ds ≤ C
M
−M
Y
2 ds +
M
−M
L u Y
2 ds
ce qui donne bien la majoration désirée.