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CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
– À βY , nulle en dehors de [−T, T ], nous appliquons l’inégalité du
lemme 10.2.5,
βY W 1,2 ≤ C
2 (βY L 2 + L u (βY ) L 2 )
≤ C
2
βY L 2 +
dβ
ds
Y
L 2
+ βL u Y L 2
.
Et donc
Y W 1,2 ≤ C 3
βY L 2 + 2
dβ
ds
Y
L 2
+ βL u Y L 2 + (1 − β)L u Y L 2
.
Utilisons maintenant le fait que β et dβ/ds sont nulles en dehors de [−T, T ],
donc
βY L 2 + 2
dβ
ds
Y
L 2
≤ 3 Y L 2 [−T,T ]
et de même
βL u Y L 2 + (1 − β)L u Y L 2
≤
−M
−∞
L u Y
2 ds
1/2
+
T
−T
L u Y
2 ds
1/2
+
+∞
T
L u Y
2 ds
1/2
≤ 3
+∞
−∞
L u Y
2 ds
1/2
.
Finalement, nous avons obtenu que, pour T assez grand, il existe une
constante C 3 telle que
Y W 1,2 ≤ C 3
Y L 2 [−T,T ] + L u Y L 2
,
ce que nous voulions démontrer, puisque c’est l’énoncé de la proposition 10.2.3, modulo les démonstrations des lemmes 10.2.4 et 10.2.5, qui
suivent.
Démonstration du lemme 10.2.4. La résolution de l’équation différentielle
dY
ds
+ BY = Z
par la méthode de variation des constantes donne les solutions sous la forme
Y (s) = e
−Bs Y 0 (0) + e
−Bs
s
0
e
Bσ Z(σ) dσ.
Nous souhaitons montrer alors que, pour Z dans L
2 , Y est dans W
1,2 , c’està-dire que
Y W 1,2 ≤ C 1 Z L 2
pour une certaine constante C 1 . Nous voulons donc comparer
Y
2
W 1,2 =
+∞
−∞
Y
2 +
dY
ds
2
ds