10.2. LINÉARISATION D’UN PSEUDO-GRADIENT
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Nous aurons ainsi exactement l’hypothèse de la proposition 8.7.4, l’inclusion de L
2 ([−T, T ]) = L
2 ([−T, T ]; R
n ) dans L
2 (R; R
n ) étant compacte.
La démonstration de cette proposition s’appuie sur les deux lemmes qui
viennent.
Lemme 10.2.4. Soit B une matrice inversible. Il existe une constante C 1 > 0
telle que tout Y ∈ W
1,2 (R; R
n ) satisfait à l’inégalité
Y W 1,2 ≤ C 1
dY
ds
+ BY
L 2
.
Ce lemme est l’analogue, en théorie de Morse, de la proposition 8.7.3.
Nous l’appliquons en utilisant pour B une des matrices symétriques
Hess x (f ), Hess y (f ), qui sont inversibles parce que les points critiques x
et y sont non dégénérés. La propriété étant clairement stable par petites
perturbations, nous obtenons, si Y (s) = 0 pour −M ≤ s ≤ M et M assez
grand,
+∞
−∞
Y
2 +
dY
ds
2
ds ≤ C 2
+∞
−∞
dY
ds
+ AY
2
ds.
Ces intégrales sont calculées sur ]−∞, −M ]∪[M, +∞[. Étudions donc, dans
le deuxième lemme, ce qui se passe sur l’intervalle borné [−M, M ].
Lemme 10.2.5. Il existe une constante C 3 > 0 telle que
M
−M
Y
2 +
dY
ds
2
ds ≤ C 3
M
−M
Y
2 +
dY
ds
+ AY
2
ds.
Choisissons ensuite une fonction β (toujours comme au § 8.7.c) qui vaut 1
sur [−M, M ] et 0 en dehors de [−M − 1, M + 1] et posons, pour alléger
l’écriture, T = M + 1. De Y = βY + (1 − β)Y , déduisons :
Y W 1,2 ≤ ≤βY W 1,2 + (1 − β)Y W 1,2 .
Remarquons ensuite que, pour toute fonction α,
L u (αY ) =
dα
ds
Y + αL u Y.
Ainsi nous avons
– La fonction (1 − β)Y est nulle sur [−M, M ], donc satisfait à
(1 − β)Y W 1,2 ≤ C
1 L u (1 − β)Y L 2
≤ C
1
d(1 − β)
ds
Y
L 2
+ (1 − β)L u Y L 2
.