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CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
10.2.b. La décroissance exponentielle des solutions. Remarquons
tout d’abord que, si Y est une solution de L u Y = 0 dans W
1,2 (R; R
n ), elle
est continue, donc, satisfaisant à l’équation différentielle, est de classe C
1 , et
ainsi de suite, les solutions dans W
1,2 sont C
∞ (bootstrapping élémentaire).
En particulier, les solutions forment un espace vectoriel de dimension finie.
Étudions le comportement que l’appartenance à W
1,2 impose aux solutions à l’infini. Au voisinage d’un point critique, disons x, utilisons une
carte de Morse de V . Nous pouvons choisir la trivialisation de T V de façon
standard dans cette carte et l’équation différentielle L u Y = 0 s’écrit tout
simplement
dY
ds
= −AY
où A est une matrice constante que nous pouvons supposer diagonale, de
sorte que le système est
dy i
ds
= −λ i y i 1 ≤ i ≤ n
et ses solutions de la forme
y i (s) = y i e
−λis .
Il est bien clair que, pour qu’un tel vecteur soit dans W
1,2 (R; R
n ), il faut
qu’il tende vers 0 quand s → −∞, ce qu’il ne peut faire qu’exponentiellement
(et de même en +∞).
Interprétons en termes de l’opérateur L u les propriétés de la fonction f
et du champ de vecteurs X que nous avons utilisées pour construire le
complexe de Morse.
10.2.c. La propriété de Fredholm. Démontrons plus précisément.
Proposition 10.2.2. Si u est une trajectoire de gradient joignant deux points
critiques x et y non dégénérés, alors l’opérateur L u est un opérateur de
Fredholm.
Il faut démontrer que l’image de L u est un sous-espace fermé de
L
2 (R; R
n ), et que son noyau et son conoyau sont de dimensions finies.
Nous voulons utiliser, comme au § 8.7.c, la proposition 8.7.4 et pour cela
nous démontrons :
Proposition 10.2.3. Pour T > 0 assez grand, il existe une constante C telle
que, pour toute solution de L u Y = 0,
Y W 1,2 ≤ C
L u Y L 2 + Y L 2 ([−T,T ])
.