10.2. LINÉARISATION D’UN PSEUDO-GRADIENT
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10.2.a. Linéarisation de l’équation. Fixons une solution u qui joint un
point critique x à un point critique y et fixons une trivialisation (Z 1 , . . . , Z n )
(orthonormale pour la métrique g) de T V au voisinage de l’image de u.
À l’aide de cartes de Morse, choisissons les Z i de façon que Z i (s) ne dépende
pas de s au voisinage des points critiques x et y. Écrivons, pour
Y = (y 1 , . . . , y n ) ∈ R
n ,
Y (s) =
n
i=1
y i (s)Z i (u(s)).
Linéariser l’équation du flot le long de la solution u donne une équation
différentielle linéaire
d
Y
ds
+ (dX) u(s) (
Y ) = 0 ou
L u
Y = 0
dont la fonction inconnue s →
Y (s) est un vecteur tangent à V le long de
la solution u. Écrivons, dans la trivialisation donnée,
L u (
Y ) =
d
ds
y i Z i
+ S u (s)
y i Z i
=
n
i=1
dy i
ds
+
n
j=1
(a ji + S ji )y j
Z i
où S u (s) = (dX) u(s) , les matrices a ij et S ij sont définies par
dZ i
ds
=
a ij Z j et S u (s) · Z i =
S ij Z j .
Posons A ij = a ij + S ij et appelons L u l’opérateur linéaire
L u : W
1,2 (R; R
n ) −→ L
2 (R; R
n )
Y −→
dY
ds
+ A(s)Y.
Nous obtenons ainsi, pour le vecteur Y (s) ∈ R
n , l’équation différentielle
L u Y =
dY
ds
+ AY = 0.
Grâce à notre hypothèse sur les Z i , a ij (s) est nulle pour s → ±∞ et, à la
limite, quand s → ±∞, A tend vers la hessienne de f au point critique x
ou y, une matrice symétrique,
lim
s→−∞
A(s) = Hess x (f ) et
lim
s→+∞
A(s) = Hess y (f ).
Remarque 10.2.1. Remarquons aussi que l’espace des solutions s’interprète
comme l’espace tangent à l’espace de trajectoires M(x, y) au point u.