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CHAPITRE 10. DE FLOER À MORSE
La conclusion est que, pour H = H/k, avec k assez grand, et pour
J ∈ J r´ eg (la partie dense donnée par le théorème 10.1.2), les trajectoires
de Floer associées à (H, J) qui joignent les deux points critiques x et y
(points critiques aussi bien de H que de A H puisque les deux ensembles de
points critiques coïncident), lorsque Ind(x) − Ind(y) ≤ 2, sont exactement
les trajectoires du champ de Morse-Smale X = −JX H (par la proposition 10.1.9) et l’opérateur de Floer linéarisé le long de ces trajectoires est
surjectif (par le corollaire 10.1.8). Une telle condition de régularité fait que
M
(H,J) (x, y) est une variété, ce qui permet de définir le complexe de Floer
(voir le théorème 8.1.2).
Cette propriété de régularité n’est établie ici que pour Ind(x)−Ind(y) ≤ 2
(et non pas en général, comme au chapitre 8 (voir le théorème 8.1.1)), mais ce
cas suffit pour construire le complexe de Floer CF (H, J). On a vu qu’il coïncide avec celui de Morse CM +n (H, J), ce qui démontre le théorème 10.1.1.
Il nous reste à démontrer tous les résultats intermédiaires (10.1.2, 10.1.3,
10.1.5, 10.1.7, énoncés ci-dessus).
10.2. La linéarisation du flot d’un champ de pseudo-gradient,
démonstration du théorème 10.1.3
Considérons donc une fonction de Morse f sur une variété V et un champ
de pseudo-gradient adapté X. Les trajectoires de ce champ de vecteurs sont
les solutions de
du
ds
+ X(u(s)).
Pour simplifier, supposons que la variété V est plongée dans un espace R
m
(m assez grand) de sorte que l’on peut considérer u → X(u) comme une
application à valeurs dans R
m . Fixons ici une métrique g sur V de façon
que X soit le gradient de f pour g.
L’espace
M =
u : R → V |
∂u
∂s
+ grad f = 0 et
R
∂u
∂s
2
ds < +∞
des solutions d’énergie finie est compact
(1) et l’on a
M =
x,y∈Crit(f )
M(x, y).
(1) Rappelons que, si V est compacte, toutes les trajectoires sont d’énergie finie.