10.1. LES ÉNONCÉS
327
À cause de la relation entre les indices de Morse et de Maslov mentionnée
ci-dessus, le corollaire qui vient s’en déduit.
Corollaire 10.1.4. Pour un hamiltonien non dégénéré H et pour une trajectoire u de −JX H , les opérateurs de Fredholm (dF) u et L u ont le même
indice.
Nous montrerons aussi :
Théorème 10.1.5. Le champ X est de Morse-Smale si et seulement si les
opérateurs L u sont surjectifs.
Dans la deuxième étape, nous nous consacrerons au cas spécifique du
hamiltonien H et démontrerons le théorème 10.1.2, un résultat de transversalité analogue à ceux que nous avons établis au § 8.5.
La structure presque complexe et donc le champ de Morse-Smale étant
ainsi choisis, nous nous occuperons ensuite à comparer les solutions de
l’équation de Floer et les trajectoires du champ de vecteurs.
Remarque 10.1.6. Il est bien clair que les solutions de l’équation de Floer qui
ne dépendent pas de t sont exactement les trajectoires du champ de vecteurs
X = − grad H.
C’est ce qui donne envie de démontrer la proposition :
Proposition 10.1.7. Si H est assez petit (au sens C
2 ),
Ker(dF) u = Ker L u .
Ce que nous ferons. Les éléments du noyau de (dF) u ne dépendent donc
pas de t. En utilisant l’identité des indices (le corollaire 10.1.4 et la caractérisation des champs de Morse-Smale (dans le théorème 10.1.5), cela
implique :
Corollaire 10.1.8. L’opérateur de Fredholm (dF) u est surjectif le long de
toute trajectoire du gradient de H.
D’autre part, nous montrons que, quitte à remplacer H par H k = H/k
(qui a les mêmes points critiques avec les mêmes indices) pour k assez grand,
toutes les solutions de Floer qui nous intéressent sont indépendantes de t.
C’est la proposition :
Proposition 10.1.9. Si k est assez grand, les solutions de l’équation de Floer
pour H k joignant des points critiques d’indices x et y tels que
Ind H k (x) − Ind H k (y) ≤ 2
sont toutes indépendantes de t.
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À cause de la relation entre les indices de Morse et de Maslov mentionnée
ci-dessus, le corollaire qui vient s’en déduit.
Corollaire 10.1.4. Pour un hamiltonien non dégénéré H et pour une trajectoire u de −JX H , les opérateurs de Fredholm (dF) u et L u ont le même
indice.
Nous montrerons aussi :
Théorème 10.1.5. Le champ X est de Morse-Smale si et seulement si les
opérateurs L u sont surjectifs.
Dans la deuxième étape, nous nous consacrerons au cas spécifique du
hamiltonien H et démontrerons le théorème 10.1.2, un résultat de transversalité analogue à ceux que nous avons établis au § 8.5.
La structure presque complexe et donc le champ de Morse-Smale étant
ainsi choisis, nous nous occuperons ensuite à comparer les solutions de
l’équation de Floer et les trajectoires du champ de vecteurs.
Remarque 10.1.6. Il est bien clair que les solutions de l’équation de Floer qui
ne dépendent pas de t sont exactement les trajectoires du champ de vecteurs
X = − grad H.
C’est ce qui donne envie de démontrer la proposition :
Proposition 10.1.7. Si H est assez petit (au sens C
2 ),
Ker(dF) u = Ker L u .
Ce que nous ferons. Les éléments du noyau de (dF) u ne dépendent donc
pas de t. En utilisant l’identité des indices (le corollaire 10.1.4 et la caractérisation des champs de Morse-Smale (dans le théorème 10.1.5), cela
implique :
Corollaire 10.1.8. L’opérateur de Fredholm (dF) u est surjectif le long de
toute trajectoire du gradient de H.
D’autre part, nous montrons que, quitte à remplacer H par H k = H/k
(qui a les mêmes points critiques avec les mêmes indices) pour k assez grand,
toutes les solutions de Floer qui nous intéressent sont indépendantes de t.
C’est la proposition :
Proposition 10.1.9. Si k est assez grand, les solutions de l’équation de Floer
pour H k joignant des points critiques d’indices x et y tels que
Ind H k (x) − Ind H k (y) ≤ 2
sont toutes indépendantes de t.